10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 2

İki basamaklı $A$ ve $B$ doğal sayıları için $\text{EBOB}(A,B) = 12$ ve $\text{EKOK}(A,B) = 72$ olarak verilmiştir. Buna göre, $A$ ve $B$ sayılarının kaç farklı $(A,B)$ sıralı ikilisi vardır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek $A$ ve $B$ sayılarının kaç farklı sıralı ikilisi olduğunu bulalım.

• Adım 1: EBOB ve EKOK ilişkisini hatırlayalım. İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, $A \cdot B = \text{EBOB}(A,B) \cdot \text{EKOK}(A,B)$.
• Adım 2: $A \cdot B$ çarpımını bulalım. Verilenlere göre, $\text{EBOB}(A,B) = 12$ ve $\text{EKOK}(A,B) = 72$. O halde, $A \cdot B = 12 \cdot 72 = 864$.
• Adım 3: $A$ ve $B$'yi EBOB cinsinden ifade edelim. $\text{EBOB}(A,B) = 12$ olduğundan, $A = 12x$ ve $B = 12y$ şeklinde yazabiliriz. Burada $x$ ve $y$ aralarında asal (yani $\text{EBOB}(x,y) = 1$) pozitif tam sayılardır.
• Adım 4: $x \cdot y$ çarpımını bulalım. $A \cdot B = (12x) \cdot (12y) = 144xy = 864$ olduğundan, $xy = \frac{864}{144} = 6$ olur.
• Adım 5: $x$ ve $y$ için olası değerleri bulalım. $x$ ve $y$ aralarında asal ve $xy = 6$ olacak şekildeki $(x,y)$ ikilileri şunlardır: $(1,6)$ ve $(2,3)$ ve $(3,2)$ ve $(6,1)$.
• Adım 6: $A$ ve $B$ değerlerini bulalım ve iki basamaklı olma şartını kontrol edelim.
  • $(x,y) = (1,6)$ ise, $A = 12 \cdot 1 = 12$ ve $B = 12 \cdot 6 = 72$. Bu durumda $(A,B) = (12,72)$.
  • $(x,y) = (6,1)$ ise, $A = 12 \cdot 6 = 72$ ve $B = 12 \cdot 1 = 12$. Bu durumda $(A,B) = (72,12)$.
  • $(x,y) = (2,3)$ ise, $A = 12 \cdot 2 = 24$ ve $B = 12 \cdot 3 = 36$. Bu durumda $(A,B) = (24,36)$.
  • $(x,y) = (3,2)$ ise, $A = 12 \cdot 3 = 36$ ve $B = 12 \cdot 2 = 24$. Bu durumda $(A,B) = (36,24)$.
  Bulduğumuz tüm $A$ ve $B$ değerleri iki basamaklıdır.
• Adım 7: Farklı sıralı ikililerin sayısını belirleyelim. Bulduğumuz sıralı ikililer: $(12,72)$, $(72,12)$, $(24,36)$ ve $(36,24)$. Toplamda 4 farklı sıralı ikili vardır.

Cevap D seçeneğidir.