Çarpanlara ayırarak denklem çözme Test 1

Bir dikdörtgenin çevresi 20 birim, alanı \(24\) birimkaredir. Bu dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu kaç birimdir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Bu soruda bir dikdörtgenin çevresi ve alanı verilmiş. Bizden kısa kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Dikdörtgenin Kenarlarını Tanımlayalım
• Bir dikdörtgenin iki farklı kenar uzunluğu vardır: uzun kenar ve kısa kenar. Bu kenar uzunluklarına $a$ ve $b$ diyelim.
• Adım 2: Verilen Bilgileri Matematiksel İfadelere Dönüştürelim
• Soruda bize dikdörtgenin çevresi ve alanı verilmiş. Bu bilgileri formüllerle yazalım:
• Dikdörtgenin çevresi: $2 \times (a + b) = 20$ birim
• Dikdörtgenin alanı: $a \times b = 24$ birimkare
• Adım 3: Denklemleri Basitleştirelim ve Birbirine Bağlayalım
• Çevre denkleminden başlayalım: $2 \times (a + b) = 20$. Her iki tarafı 2'ye bölersek:
• $a + b = 10$
• Şimdi bu denklemden bir kenarı diğer cinsinden ifade edelim. Örneğin, $a$'yı $b$ cinsinden yazalım:
• $a = 10 - b$
• Bu ifadeyi alan denkleminde yerine koyalım: $a \times b = 24$
• $(10 - b) \times b = 24$
• Adım 4: İkinci Dereceden Bir Denklem Oluşturalım ve Çözelim
• Denklemi açalım ve düzenleyelim:
• $10b - b^2 = 24$
• Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir ikinci dereceden denklem oluşturalım ($Ax^2 + Bx + C = 0$ formatında):
• $b^2 - 10b + 24 = 0$
• Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $24$ olan ve toplamları $-10$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-4$ ve $-6$'dır.
• $(b - 4)(b - 6) = 0$
• Bu denklemin çözümleri şunlardır:
• $b - 4 = 0 \Rightarrow b = 4$
• $b - 6 = 0 \Rightarrow b = 6$
• Adım 5: Kenar Uzunluklarını Bulalım ve Kısa Kenarı Belirleyelim
• İki olası durumumuz var:
• Durum 1: Eğer $b = 4$ birim ise, $a = 10 - b = 10 - 4 = 6$ birim olur. Bu durumda dikdörtgenin kenarları $4$ birim ve $6$ birimdir.
• Durum 2: Eğer $b = 6$ birim ise, $a = 10 - b = 10 - 6 = 4$ birim olur. Bu durumda dikdörtgenin kenarları $6$ birim ve $4$ birimdir.
• Her iki durumda da dikdörtgenin kenar uzunlukları $4$ birim ve $6$ birimdir.
• Bizden kısa kenar uzunluğu isteniyor. $4$ ve $6$ birimden daha kısa olanı $4$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.