f(x) = x² - (k-2)x + 9 parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir parabolün x eksenine teğet olma durumunu inceleyeceğiz. Bu durum, ikinci dereceden denklemlerin kökleriyle ilgili önemli bir bilgiyi kullanmamızı gerektirir. Haydi adım adım çözelim:
Bir parabolün x eksenine teğet olması, parabolün x eksenini sadece bir noktada kestiği anlamına gelir. Matematiksel olarak bu durum, parabolün denklemini $f(x) = 0$ şeklinde yazdığımızda, bu ikinci dereceden denklemin yalnızca bir tane gerçek kökü (çakışık iki kökü) olduğu anlamına gelir.
Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde verildiğinde, denklemin tek bir gerçek kökü olması için diskriminantının ($\Delta$) sıfıra eşit olması gerekir. Yani, $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ olmalıdır.
Bize verilen parabol denklemi $f(x) = x^2 - (k-2)x + 9$. Bu denklemi $ax^2 + bx + c = 0$ formatıyla karşılaştırırsak, katsayıları şu şekilde belirleyebiliriz:
Şimdi bulduğumuz $a, b, c$ değerlerini $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ formülüne yerleştirelim:
$(-(k-2))^2 - 4(1)(9) = 0$
Bu ifadeyi düzenleyelim:
$(k-2)^2 - 36 = 0$
Elde ettiğimiz $(k-2)^2 - 36 = 0$ denklemini çözerek $k$ değerlerini bulalım:
$(k-2)^2 = 36$
Bir sayının karesi 36 ise, o sayı 6 veya -6 olabilir. Dolayısıyla, iki farklı durum incelememiz gerekir:
Buna göre, $k$'nin alabileceği değerler 8 ve -4'tür.
Soruda bizden $k$'nin alabileceği değerler toplamı isteniyor. Bulduğumuz değerleri toplayalım:
$k_1 + k_2 = 8 + (-4) = 4$
Bu adımları takip ederek doğru cevaba ulaştık.
Cevap A seçeneğidir.
