Polinom bölmesinde kalan nasıl bulunur Test 2

P(x) = x⁴ - 3x³ + 2x² - x + 5 polinomunun (x²-2x+1) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x+2
B) 4x+1
C) 5x
D) 6x-1

Polinom Bölme İşlemiyle Kalanı Bulma

Bir $P(x)$ polinomunun bir $Q(x)$ polinomuna bölümünden kalanı bulmak için çeşitli yöntemler kullanabiliriz. Bu soruda, bölen polinom $Q(x) = x^2 - 2x + 1$ olduğu için, hem uzun bölme yöntemini hem de kalan teoremini kullanarak sonuca ulaşabiliriz. Biz burada, daha pratik olan kalan teoremiyle ilişkili bir yöntem olan yerine koyma yöntemini kullanacağız.

• Adım 1: Bölen Polinomu Sadeleştirme ve Eşitlik Oluşturma

  Bölen polinomumuz $Q(x) = x^2 - 2x + 1$ şeklindedir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak, $(x-1)^2$ olduğunu görürüz. Kalanı bulmak için $Q(x)=0$ eşitliğini kullanırız. Yani:

  $x^2 - 2x + 1 = 0$

  Bu eşitlikten $x^2$ ifadesini yalnız bırakırsak:

  $x^2 = 2x - 1$

  Bu eşitliği, $P(x)$ polinomundaki $x^2$ ve daha yüksek dereceli terimlerin yerine koyarak kalanı bulacağız. Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden (yani 2'den) küçük olmalıdır. Bu durumda kalan $ax+b$ şeklinde bir ifade olacaktır.

• Adım 2: $P(x)$ Polinomundaki Yüksek Dereceli Terimleri İndirgeme

  $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5$ polinomundaki $x^4$, $x^3$ ve $x^2$ terimlerini $x^2 = 2x - 1$ eşitliğini kullanarak indirgeyelim:

  • $x^2$ terimi için:

    Zaten $x^2 = 2x - 1$ olarak elimizde var.

  • $x^3$ terimi için:

    $x^3 = x \cdot x^2$ şeklinde yazabiliriz. Şimdi $x^2$ yerine $2x-1$ koyalım:

    $x^3 = x(2x - 1) = 2x^2 - x$

    Tekrar $x^2$ yerine $2x-1$ koyalım:

    $x^3 = 2(2x - 1) - x = 4x - 2 - x = 3x - 2$

  • $x^4$ terimi için:

    $x^4 = x^2 \cdot x^2$ şeklinde yazabiliriz. Şimdi $x^2$ yerine $2x-1$ koyalım:

    $x^4 = (2x - 1)(2x - 1) = 4x^2 - 4x + 1$

    Tekrar $x^2$ yerine $2x-1$ koyalım:

    $x^4 = 4(2x - 1) - 4x + 1 = 8x - 4 - 4x + 1 = 4x - 3$

• Adım 3: İndirgenmiş Terimleri $P(x)$ Polinomunda Yerine Koyma

  Şimdi bulduğumuz bu indirgenmiş ifadeleri $P(x)$ polinomunda yerine yazalım:

  $P(x) = \mathbf{x^4} - 3\mathbf{x^3} + 2\mathbf{x^2} - x + 5$

  $P(x) = \mathbf{(4x - 3)} - 3\mathbf{(3x - 2)} + 2\mathbf{(2x - 1)} - x + 5$

• Adım 4: İfadeyi Düzenleyerek Kalanı Bulma

  Şimdi bu ifadeyi açalım ve benzer terimleri birleştirelim:

  $P(x) = 4x - 3 - 9x + 6 + 4x - 2 - x + 5$

  $P(x) = (4x - 9x + 4x - x) + (-3 + 6 - 2 + 5)$

  $P(x) = (4 - 9 + 4 - 1)x + (-3 + 6 - 2 + 5)$

  $P(x) = (-2)x + (6)$

  $P(x) = -2x + 6$

  Bu durumda, $P(x)$ polinomunun $(x^2-2x+1)$ ile bölümünden kalan $-2x+6$ olur.

Cevap B seçeneğidir.