KPSS Temel Kavramlar konu anlatımı Test 2

a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. a . b = 12 ve b . c = 18 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, $a$, $b$ ve $c$ gibi üç farklı pozitif tam sayının çarpımları üzerinden toplamlarının alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Soruyu Anlamak ve Verilenleri Belirlemek

  Soruda bize verilenler şunlar:

  • $a$, $b$, $c$ birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. (Bu çok önemli bir bilgi!)
  • $a \cdot b = 12$
  • $b \cdot c = 18$

  Bizden istenen ise $a + b + c$ toplamının alabileceği en küçük değerdir.

• 2. Adım: Ortak Değişkeni (b) İncelemek

  Denklemlere dikkatlice baktığımızda, her iki çarpımda da ortak olan sayının $b$ olduğunu görüyoruz. Bu, $b$'nin hem 12'nin hem de 18'in bir çarpanı (böleni) olması gerektiği anlamına gelir.

  Şimdi 12'nin ve 18'in pozitif çarpanlarını (bölenlerini) yazalım:

  • 12'nin çarpanları: $1, 2, 3, 4, 6, 12$
  • 18'in çarpanları: $1, 2, 3, 6, 9, 18$

  $b$ sayısı hem 12'nin hem de 18'in ortak çarpanı olmalıdır. Bu durumda $b$'nin alabileceği değerler:

  • Ortak çarpanlar: $1, 2, 3, 6$
• 3. Adım: Her Bir $b$ Değeri İçin $a$, $c$ ve $a+b+c$ Değerlerini Hesaplamak

  Şimdi $b$'nin alabileceği her bir değeri tek tek deneyelim ve $a$, $c$ sayılarını bulup, $a, b, c$ sayılarının birbirinden farklı olup olmadığını kontrol edelim. Sonra da $a+b+c$ toplamını hesaplayalım.

  • Durum 1: $b = 1$ ise
    • $a \cdot 1 = 12 \Rightarrow a = 12$
    • $1 \cdot c = 18 \Rightarrow c = 18$
    • Sayılar: $a=12$, $b=1$, $c=18$. Bunlar birbirinden farklı pozitif tam sayılar mı? Evet ($12 \neq 1 \neq 18$).
    • Toplam: $a + b + c = 12 + 1 + 18 = 31$
  • Durum 2: $b = 2$ ise
    • $a \cdot 2 = 12 \Rightarrow a = 6$
    • $2 \cdot c = 18 \Rightarrow c = 9$
    • Sayılar: $a=6$, $b=2$, $c=9$. Bunlar birbirinden farklı pozitif tam sayılar mı? Evet ($6 \neq 2 \neq 9$).
    • Toplam: $a + b + c = 6 + 2 + 9 = 17$
  • Durum 3: $b = 3$ ise
    • $a \cdot 3 = 12 \Rightarrow a = 4$
    • $3 \cdot c = 18 \Rightarrow c = 6$
    • Sayılar: $a=4$, $b=3$, $c=6$. Bunlar birbirinden farklı pozitif tam sayılar mı? Evet ($4 \neq 3 \neq 6$).
    • Toplam: $a + b + c = 4 + 3 + 6 = 13$
  • Durum 4: $b = 6$ ise
    • $a \cdot 6 = 12 \Rightarrow a = 2$
    • $6 \cdot c = 18 \Rightarrow c = 3$
    • Sayılar: $a=2$, $b=6$, $c=3$. Bunlar birbirinden farklı pozitif tam sayılar mı? Evet ($2 \neq 6 \neq 3$).
    • Toplam: $a + b + c = 2 + 6 + 3 = 11$
• 4. Adım: En Küçük Toplamı Belirlemek

  Hesapladığımız tüm $a+b+c$ toplamlarını karşılaştıralım:

  • $31$
  • $17$
  • $13$
  • $11$

  Bu değerler arasında en küçük olanı $11$'dir.

Bu tür sorularda en küçük toplamı bulmak için, ortak çarpan olan $b$ değerini mümkün olduğunca büyük seçmek genellikle $a$ ve $c$ değerlerini küçülterek toplamı azaltır. Gördüğümüz gibi $b=6$ seçeneği bize en küçük toplamı verdi.

Cevap C seçeneğidir.