Türkiye haritasında Ankara (2,5) ve İzmir (8,17) koordinatlarıyla gösteriliyor. Bu iki şehri birleştiren doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 1Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, Türkiye haritasında verilen iki şehrin koordinatlarını kullanarak bu şehirleri birleştiren doğrunun denklemini bulmamız isteniyor. Bir doğrunun denklemini bulmak için genellikle iki bilgiye ihtiyacımız vardır: doğrunun eğimi ve bir noktası. Zaten iki noktamız olduğu için hem eğimi bulabilir hem de denklemi oluşturabiliriz.
Bir doğrunun genel denklemi $y = mx + n$ şeklindedir. Burada $m$ doğrunun eğimini, $n$ ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı (y-kesen) temsil eder.
İki nokta arasındaki eğim, y koordinatlarındaki değişimin x koordinatlarındaki değişime oranıdır. Formülü şöyledir: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Bize verilen noktalar Ankara $(x_1, y_1) = (2,5)$ ve İzmir $(x_2, y_2) = (8,17)$.
Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
$m = \frac{17 - 5}{8 - 2}$
$m = \frac{12}{6}$
$m = 2$
Demek ki doğrumuzun eğimi $2$'dir.
Eğimi bulduğumuza göre, doğrumuzun denklemi şimdilik $y = 2x + n$ şeklini aldı. Şimdi sıra $n$ değerini bulmakta.
$n$ değerini bulmak için, bulduğumuz eğimi ve verilen noktalardan herhangi birini (örneğin Ankara $(2,5)$ noktasını) $y = 2x + n$ denkleminde yerine koyabiliriz. Bu nokta doğrunun üzerinde olduğu için denklemi sağlamalıdır.
Ankara $(2,5)$ noktasını kullanalım:
$y = 2x + n$
$5 = 2(2) + n$
$5 = 4 + n$
$n = 5 - 4$
$n = 1$
Böylece y-kesen değerini de $1$ olarak bulduk.
Eğim ($m=2$) ve y-kesen ($n=1$) değerlerini genel denklemde yerine koyduğumuzda, doğrumuzun denklemini elde ederiz:
$y = 2x + 1$
Bulduğumuz $y = 2x + 1$ denklemi, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
