Uzunluk kısalması (Uzunluğun göreceliği) Test 2

Bir uzay aracı 0.8c hızıyla hareket ederken, dünyadaki bir gözlemci tarafından ölçülen uzunluğu 12 metre olarak bulunuyor. Bu uzay aracının durgun haldeki uzunluğu kaç metredir?

A) 7.2
B) 15
C) 18
D) 20

Bu soru, Albert Einstein'ın Özel Görelilik Teorisi'nin önemli sonuçlarından biri olan uzunluk büzülmesi (length contraction) kavramıyla ilgilidir. Bir cisim ışık hızına yakın bir hızla hareket ettiğinde, hareket yönündeki uzunluğu, durgun haldeki uzunluğuna göre daha kısa ölçülür.

• Adım 1: Uzunluk Büzülmesi Formülünü Hatırlayalım

  Uzunluk büzülmesi formülü şu şekildedir:

  $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  Burada:

  • $L$: Hareket halindeki cismin gözlemci tarafından ölçülen uzunluğu (büzülmüş uzunluk).
  • $L_0$: Cismin durgun haldeki (kendi referans çerçevesinde) uzunluğu (öz uzunluk).
  • $v$: Cismin hızı.
  • $c$: Işık hızı.
• Adım 2: Verilen Değerleri Belirleyelim

  Soruda bize verilen değerler şunlardır:

  • Uzay aracının dünyadaki bir gözlemci tarafından ölçülen uzunluğu (büzülmüş uzunluk): $L = 12$ metre.
  • Uzay aracının hızı: $v = 0.8c$.
  • Bizden istenen, uzay aracının durgun haldeki uzunluğu ($L_0$).
• Adım 3: Değerleri Formülde Yerine Koyalım

  Formülde verilen değerleri yerine yazarsak:

  $12 = L_0 \sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}$

• Adım 4: Hesaplamaları Yapalım

  Öncelikle karekök içindeki ifadeyi basitleştirelim:

  $(0.8c)^2 = 0.64c^2$

  Şimdi bunu formülde yerine koyalım:

  $12 = L_0 \sqrt{1 - \frac{0.64c^2}{c^2}}$

  $c^2$ terimleri sadeleşir:

  $12 = L_0 \sqrt{1 - 0.64}$

  Karekök içindeki çıkarma işlemini yapalım:

  $12 = L_0 \sqrt{0.36}$

  Şimdi karekökü alalım:

  $\sqrt{0.36} = 0.6$

  Formülümüz şu hale gelir:

  $12 = L_0 \times 0.6$

• Adım 5: $L_0$ Değerini Bulalım

  $L_0$ değerini yalnız bırakmak için her iki tarafı $0.6$'ya bölelim:

  $L_0 = \frac{12}{0.6}$

  $L_0 = \frac{120}{6}$

  $L_0 = 20$ metre

Buna göre, uzay aracının durgun haldeki uzunluğu 20 metredir.

Cevap D seçeneğidir.