Uzunluk kısalması (Uzunluğun göreceliği) Test 2

Hareket halindeki bir cismin uzunluğu, durgun haldeki uzunluğunun yarısı kadar ölçülüyor. Bu cismin hızı ışık hızının kaç katıdır?

A) 0.75c
B) 0.82c
C) 0.87c
D) 0.92c

Sevgili öğrenciler, bu soru özel görelilik teorisinin önemli sonuçlarından biri olan uzunluk büzülmesi (Lorentz büzülmesi) ile ilgilidir. Bir cisim ışık hızına yakın hızlarda hareket ettiğinde, hareket yönündeki uzunluğu, durgun haldeki uzunluğuna göre daha kısa ölçülür. Bu olayı açıklayan formülü kullanarak cismin hızını bulalım.

• Uzunluk Büzülmesi Formülü:

  Hareket halindeki bir cismin gözlemlenen uzunluğu ($L$), durgun haldeki uzunluğu ($L_0$) ve cismin hızı ($v$) ile ışık hızı ($c$) arasındaki ilişki şu formülle verilir:

  $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  Burada:

  • $L$: Hareket halindeki cismin gözlemlenen uzunluğu.
  • $L_0$: Cismin durgun haldeki (kendi referans çerçevesindeki) uzunluğu.
  • $v$: Cismin hızı.
  • $c$: Işık hızı.

• Verilen Bilgileri Yerine Koyma:

  Soruda, hareket halindeki cismin uzunluğunun, durgun haldeki uzunluğunun yarısı kadar ölçüldüğü belirtiliyor. Yani:

  $L = \frac{L_0}{2}$

  Bu ifadeyi uzunluk büzülmesi formülünde yerine yazalım:

  $\frac{L_0}{2} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

• Denklemi Sadeleştirme:

  Denklemin her iki tarafını $L_0$ ile bölebiliriz:

  $\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

• Hızı ($v$) Bulmak İçin Kare Alma:

  Karekökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini alalım:

  $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2$

  $\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

• $\frac{v^2}{c^2}$ İfadesini Yalnız Bırakma:

  Şimdi $\frac{v^2}{c^2}$ terimini yalnız bırakalım:

  $\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$

  $\frac{v^2}{c^2} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

  $\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

• Hızı ($v$) Hesaplama:

  Her iki tarafın karekökünü alarak $\frac{v}{c}$ oranını bulalım:

  $\sqrt{\frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{\frac{3}{4}}$

  $\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

  $\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Şimdi $\sqrt{3}$ değerini yaklaşık olarak yerine koyalım ($\sqrt{3} \approx 1.732$):

  $\frac{v}{c} \approx \frac{1.732}{2}$

  $\frac{v}{c} \approx 0.866$

• Sonucu Yorumlama:

  Bu durumda cismin hızı, ışık hızının yaklaşık $0.866$ katıdır. Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan $0.87c$ seçeneğidir.

Cevap C seçeneğidir.