Uzunluk kısalması (Uzunluğun göreceliği) Test 2

Bir uzay aracının durgun uzunluğu 50 metredir. Bu araç öyle bir hızla hareket ediyor ki, dünyadaki bir gözlemci uzunluğunu 30 metre olarak ölçüyor. Aracın hızı ışık hızının kaç katıdır?

A) 0.6c
B) 0.7c
C) 0.8c
D) 0.9c

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, özel görelilik teorisinin temel sonuçlarından biri olan uzunluk büzülmesi (length contraction) kavramını kullanacağız. Bir cisim ışık hızına yakın bir hızla hareket ettiğinde, hareket yönündeki boyutu, durgun haldeki boyutuna göre daha kısa görünür. Bu durum, cismin hızı arttıkça daha belirgin hale gelir.

Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Uzunluk Büzülmesi Formülünü Hatırlayalım:

  Uzunluk büzülmesi, aşağıdaki formülle ifade edilir:

  $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  Burada:

  • $L$: Hareket eden cismin gözlemci tarafından ölçülen uzunluğu (büzülmüş uzunluk).
  • $L_0$: Cismin durgun haldeki (kendi referans çerçevesinde) uzunluğu (durgun uzunluk).
  • $v$: Cismin hızı.
  • $c$: Işık hızı.
• 2. Verilen Değerleri Belirleyelim:
  • Uzay aracının durgun uzunluğu (kendi referans çerçevesindeki uzunluğu): $L_0 = 50$ metre.
  • Dünyadaki gözlemcinin ölçtüğü uzunluk (büzülmüş uzunluk): $L = 30$ metre.
  • Aradığımız şey: Aracın hızı ($v$) ışık hızının ($c$) kaç katıdır, yani $\frac{v}{c}$ oranı.
• 3. Formülde Değerleri Yerine Koyalım:

  Formülümüz $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ idi. Verilen değerleri yerine yazarsak:

  $30 = 50 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

• 4. Denklemi Düzenleyelim ve $\frac{v^2}{c^2}$ İfadesini Yalnız Bırakalım:

  Öncelikle $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ ifadesini yalnız bırakalım:

  $\frac{30}{50} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  $0.6 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  Şimdi her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulalım:

  $(0.6)^2 = \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2$

  $0.36 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

  Şimdi $\frac{v^2}{c^2}$ ifadesini denklemin bir tarafına alalım:

  $\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.36$

  $\frac{v^2}{c^2} = 0.64$

• 5. Aracın Hızının Işık Hızına Oranını Bulalım:

  $\frac{v^2}{c^2}$ ifadesinin karekökünü alarak $\frac{v}{c}$ oranını bulabiliriz:

  $\sqrt{\frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{0.64}$

  $\frac{v}{c} = 0.8$

Bu sonuç, uzay aracının hızının ışık hızının 0.8 katı olduğunu göstermektedir.

Cevap C seçeneğidir.