10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 1

f: R → R, f(x) = x³ - 3x fonksiyonu veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tek fonksiyondur
B) Artandır
C) Birebirdir
D) Örtendir

Merhaba sevgili öğrenciler! Fonksiyonların özelliklerini anlamak, matematikteki en temel ve önemli konulardan biridir. Şimdi, verilen $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunu adım adım inceleyerek hangi ifadenin yanlış olduğunu bulalım.

• A) Tek fonksiyondur

  Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması için $f(-x) = -f(x)$ koşulunu sağlaması gerekir. Bu koşulu kontrol edelim:

  • $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x$
  • $-f(x) = -(x^3 - 3x) = -x^3 + 3x$

  Gördüğümüz gibi, $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlanmaktadır. Dolayısıyla, $f(x)$ bir tek fonksiyondur. Bu ifade doğrudur.

• B) Artandır

  Bir fonksiyonun artan olup olmadığını anlamak için türevine bakarız. Eğer $f'(x) > 0$ ise fonksiyon artandır. $f'(x) < 0$ ise azalandır. Fonksiyonumuzun türevini alalım:

  • $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$

  Şimdi $f'(x)$'in işaretini inceleyelim. $f'(x) = 0$ yapan değerleri bulalım:

  • $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0$
  • Buradan $x = 1$ veya $x = -1$ kritik noktalarını buluruz.

  Türevimizin işaret tablosunu inceleyelim:

  • $x < -1$ için (örneğin $x=-2$): $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
  • $-1 < x < 1$ için (örneğin $x=0$): $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
  • $x > 1$ için (örneğin $x=2$): $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.

  Fonksiyonumuz tüm $R$ tanım kümesi üzerinde sürekli olarak artan değildir, çünkü $(-1, 1)$ aralığında azalandır. Dolayısıyla, "Artandır" ifadesi yanlıştır.

• C) Birebirdir

  Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı her $x_1$ ve $x_2$ değeri için $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Yani, yatay doğru testi uygulandığında, yatay bir doğru grafiği birden fazla noktada kesmemelidir. Fonksiyonumuzun türevini incelediğimizde, artan ve azalan olduğu aralıklar bulunduğunu gördük. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir. Örneğin:

  • $f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$
  • $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$

  $0 \neq \sqrt{3}$ iken $f(0) = f(\sqrt{3})$'tür. Bu nedenle, $f(x)$ fonksiyonu birebir değildir.

• D) Örtendir

  Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesinin (burada $R$) görüntü kümesine eşit olması gerekir. Yani, değer kümesindeki her eleman için tanım kümesinde en az bir $x$ değeri bulunmalıdır ki $f(x)$ o elemana eşit olsun.

  $f(x) = x^3 - 3x$ bir polinom fonksiyonudur ve derecesi tektir (3). Tek dereceli polinom fonksiyonlarının görüntü kümesi tüm reel sayılar kümesidir ($R$).

  • $\lim_{x \to \infty} (x^3 - 3x) = \infty$
  • $\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x) = -\infty$

  Fonksiyon sürekli olduğu için, $-\infty$'dan $\infty$'a kadar tüm değerleri alır. Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonu örtendir. Bu ifade doğrudur.

Bu durumda, verilen seçeneklerden yanlış olan ifade B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.