Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için aşağıdakiler biliniyor:
• f birebir ve artan
• g örten ve azalan
• (fog)(x) = 2x - 1
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) f örtendir
B) g birebirdir
C) f azalandır
D) g artandır
Öncelikle, bize verilen $(f \circ g)(x) = 2x - 1$ fonksiyonunu inceleyelim. Bu fonksiyon, gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı bir doğrusal fonksiyondur.
Bir doğrusal fonksiyon olan $h(x) = 2x - 1$ için:
Her farklı $x$ değeri için farklı bir $h(x)$ değeri elde ederiz. Bu yüzden $h(x)$ birebirdir (injective).
Gerçek sayılardaki tüm $y$ değerleri için bir $x$ değeri bulunabilir ($x = (y+1)/2$). Bu yüzden $h(x)$ örtendir (surjective).
$x$ değeri arttıkça $h(x)$ değeri de artar (eğimi $2 > 0$). Bu yüzden $h(x)$ artandır (increasing).
Şimdi, bileşke fonksiyonların birebir ve örtenlik özelliklerini hatırlayalım:
Eğer bir bileşke fonksiyon $(f \circ g)$ birebir ise, o zaman içteki fonksiyon olan $g$ kesinlikle birebirdir.
Eğer bir bileşke fonksiyon $(f \circ g)$ örten ise, o zaman dıştaki fonksiyon olan $f$ kesinlikle örtendir.
Bu kuralları kullanarak seçenekleri değerlendirelim:
$(f \circ g)(x) = 2x - 1$ fonksiyonu örtendir. Yukarıdaki kurala göre, eğer $(f \circ g)$ örten ise $f$ de örtendir. Bu durumda A) f örtendir seçeneği kesinlikle doğrudur.
$(f \circ g)(x) = 2x - 1$ fonksiyonu birebirdir. Yukarıdaki kurala göre, eğer $(f \circ g)$ birebir ise $g$ de birebirdir. Bu durumda B) g birebirdir seçeneği de kesinlikle doğrudur.
Burada bir çelişki fark edebiliriz: Bize $f$ artan ve $g$ azalan olarak verilmiş. Artan bir fonksiyon ile azalan bir fonksiyonun bileşkesi azalan olmalıdır. Ancak $(f \circ g)(x) = 2x - 1$ fonksiyonu artandır. Bu durum, sorunun öncüllerinde bir tutarsızlık olduğunu gösterir. Ancak, bu tür sorularda genellikle birebir ve örtenlik özellikleri üzerinden çıkarım yapılması beklenir.
Hem A hem de B seçenekleri doğru gibi görünse de, sorunun "kesinlikle doğrudur" ifadesiyle tek bir cevabı işaret etmesi beklenir. Bu durumda, seçenekler arasındaki ince farkı anlamamız gerekir:
Bize $g$ fonksiyonunun örten ve azalan olduğu verilmişti. Gerçek sayılarda tanımlı, örten ve azalan (kesinlikle azalan) bir fonksiyon aynı zamanda birebir olmak zorundadır. Yani, "g birebirdir" ifadesi, $g$'nin bize verilen özelliklerinden (örten ve azalan olması) zaten çıkarılabilecek bir sonuçtur. Bu, $(f \circ g)$'nin birebir olmasından yapılan yeni bir çıkarım değildir, zaten $g$'nin kendi doğasında olan bir özelliktir.
Öte yandan, $f$ fonksiyonunun örten olduğu bilgisi bize doğrudan verilmemiştir (sadece birebir ve artan olduğu verilmiştir). "f örtendir" ifadesi, $(f \circ g)$ fonksiyonunun örtenlik özelliğinden yola çıkarak $f$ hakkında yeni elde ettiğimiz bir bilgidir.
Bu nedenle, sorunun asıl amacının bileşke fonksiyonun özelliklerinden yeni bir çıkarım yapmak olduğu düşünüldüğünde, A seçeneği daha uygun ve "kesinlikle doğru" olan cevaptır.
