f: R → R, f(x) = |x - 2| + |x + 1| fonksiyonu veriliyor. Buna göre f fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?
A) 0Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun minimum değerini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x - 2| + |x + 1|$.
Mutlak değer fonksiyonlarının minimum veya maksimum değerlerini bulurken, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktaları belirlemek ve bu noktalara göre fonksiyonu farklı aralıklarda tanımlamak çok önemlidir.
Mutlak değer ifadelerinin içini sıfır yapan $x$ değerlerini bulalım:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Bu kritik noktalar, sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır: $x < -1$, $-1 \le x < 2$ ve $x \ge 2$.
Mutlak değerin tanımına göre ($|a| = a$ eğer $a \ge 0$ ise ve $|a| = -a$ eğer $a < 0$ ise), her aralıkta $f(x)$ fonksiyonunu mutlak değer işaretleri olmadan yazalım:
Durum 1: $x < -1$
Bu aralıkta hem $x - 2$ hem de $x + 1$ negatiftir.
$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$
$|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$
Bu durumda $f(x) = (-x + 2) + (-x - 1) = -2x + 1$.
Bu aralıkta $x$ azaldıkça $f(x)$ artar. $x = -1$ noktasına yaklaştıkça $f(x)$ değeri $-2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$ olur. Bu aralıktaki değerler $3$'ten büyüktür. (Örneğin, $x = -2$ için $f(-2) = -2(-2) + 1 = 5$).
Durum 2: $-1 \le x < 2$
Bu aralıkta $x - 2$ negatif, $x + 1$ ise pozitiftir (veya sıfır).
$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$
$|x + 1| = x + 1$
Bu durumda $f(x) = (-x + 2) + (x + 1) = 3$.
Bu aralıkta fonksiyon sabit bir değer olan $3$'ü almaktadır.
Durum 3: $x \ge 2$
Bu aralıkta hem $x - 2$ hem de $x + 1$ pozitiftir (veya sıfır).
$|x - 2| = x - 2$
$|x + 1| = x + 1$
Bu durumda $f(x) = (x - 2) + (x + 1) = 2x - 1$.
Bu aralıkta $x$ arttıkça $f(x)$ artar. $x = 2$ noktasında $f(2) = 2(2) - 1 = 3$ olur. Bu aralıktaki değerler $3$'ten büyüktür. (Örneğin, $x = 3$ için $f(3) = 2(3) - 1 = 5$).
Yukarıdaki analizlerimize göre:
$x < -1$ için $f(x)$ değerleri $3$'ten büyüktür.
$-1 \le x < 2$ için $f(x)$ değeri sabittir ve $3$'tür.
$x \ge 2$ için $f(x)$ değerleri $3$'ten büyüktür.
Bu durumda, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $3$'tür. Bu minimum değer, $x$ değeri $-1$ ile $2$ arasında olduğunda elde edilir.
Ek Bilgi (Geometrik Yorum):
Bir mutlak değer ifadesi $|x - a|$, sayı doğrusu üzerinde $x$ noktasının $a$ noktasına olan uzaklığını temsil eder. Dolayısıyla, $f(x) = |x - 2| + |x + 1|$ ifadesi, $x$ noktasının $2$ noktasına olan uzaklığı ile $x$ noktasının $-1$ noktasına olan uzaklığının toplamını ifade eder. Bu toplamın minimum olması için $x$ noktasının $-1$ ile $2$ noktaları arasında bir yerde olması gerekir. Bu durumda, uzaklıkların toplamı, $-1$ ile $2$ noktaları arasındaki uzaklığa eşit olur ki bu da $2 - (-1) = 3$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
