f: R → R fonksiyonu her x, y ∈ R için f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlıyor. f(1) = 3 olduğuna göre, f(4) değeri kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
Bu tür fonksiyonlara "toplamsal fonksiyonlar" denir ve matematiksel olarak Cauchy'nin fonksiyonel denklemi olarak bilinir. Verilen eşitlik, fonksiyonun toplama işlemini koruduğu anlamına gelir. Yani, iki sayının toplamının fonksiyon değeri, o sayıların ayrı ayrı fonksiyon değerlerinin toplamına eşittir. Bu özelliği kullanarak $f(4)$ değerini adım adım bulabiliriz.
- Adım 1: Fonksiyonun Temel Özelliğini Anlayalım
- Bize verilen eşitlik $f(x + y) = f(x) + f(y)$ şeklindedir. Bu, herhangi iki sayıyı topladığımızda, bu toplamın fonksiyon değerinin, o sayıların ayrı ayrı fonksiyon değerlerinin toplamına eşit olduğunu gösterir.
- Örneğin, $f(2)$ değerini bulmak için $x=1$ ve $y=1$ alabiliriz.
- Adım 2: $f(2)$ değerini $f(1)$ cinsinden bulalım
- $f(2) = f(1 + 1)$ olarak yazabiliriz.
- Verilen $f(x + y) = f(x) + f(y)$ özelliğini kullanarak:
- $f(1 + 1) = f(1) + f(1)$
- Yani, $f(2) = 2 \cdot f(1)$ olur.
- Adım 3: $f(3)$ değerini $f(1)$ cinsinden bulalım
- $f(3) = f(2 + 1)$ olarak yazabiliriz.
- Yine aynı özelliği kullanarak:
- $f(2 + 1) = f(2) + f(1)$
- Önceki adımda $f(2) = 2 \cdot f(1)$ bulmuştuk. Bunu yerine yazalım:
- $f(3) = (2 \cdot f(1)) + f(1)$
- Yani, $f(3) = 3 \cdot f(1)$ olur.
- Adım 4: $f(4)$ değerini $f(1)$ cinsinden bulalım
- $f(4) = f(3 + 1)$ olarak yazabiliriz.
- Fonksiyonun özelliğini tekrar kullanarak:
- $f(3 + 1) = f(3) + f(1)$
- Önceki adımda $f(3) = 3 \cdot f(1)$ bulmuştuk. Bunu yerine yazalım:
- $f(4) = (3 \cdot f(1)) + f(1)$
- Yani, $f(4) = 4 \cdot f(1)$ olur.
- Adım 5: Verilen $f(1)$ değerini yerine koyarak $f(4)$ değerini hesaplayalım
- Soruda bize $f(1) = 3$ olarak verilmişti.
- Bulduğumuz $f(4) = 4 \cdot f(1)$ eşitliğinde $f(1)$ yerine $3$ yazalım:
- $f(4) = 4 \cdot 3$
- $f(4) = 12$
Buna göre, $f(4)$ değeri $12$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
