f: [0, ∞) → R, f(x) = √x fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) BirebirdirMerhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun özelliklerini inceleyeceğiz ve verilen ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulacağız. Fonksiyonumuzun tanım kümesi $[0, \infty)$ yani $0$ ve pozitif gerçek sayılardır.
Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı $x$ değerleri için görüntülerin de farklı olması gerekir. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.
Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x}$. Diyelim ki $f(x_1) = f(x_2)$.
Bu durumda $\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$ olur.
Her iki tarafın karesini alırsak, $(\sqrt{x_1})^2 = (\sqrt{x_2})^2$ ve buradan $x_1 = x_2$ elde ederiz.
Tanım kümemiz $[0, \infty)$ olduğu için $x_1$ ve $x_2$ negatif olamaz, bu yüzden karekök alma işlemi tek bir sonuç verir. Dolayısıyla, $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonu birebirdir. Bu ifade DOĞRUdur.
Bir fonksiyonun artan olması için, tanım kümesindeki her $x_1 < x_2$ için $f(x_1) < f(x_2)$ olması gerekir.
Tanım kümemiz $[0, \infty)$ olduğu için, $x_1$ ve $x_2$ pozitif veya sıfır olabilir. Örneğin, $0 \le x_1 < x_2$ olsun.
Eğer $x_1 = 1$ ve $x_2 = 4$ alırsak, $f(1) = \sqrt{1} = 1$ ve $f(4) = \sqrt{4} = 2$ olur. Görüldüğü gibi $1 < 2$, yani $f(1) < f(4)$.
Genel olarak, pozitif sayılar için karekök fonksiyonu artandır. Sayı büyüdükçe karekökü de büyür. Bu ifade DOĞRUdur.
Görüntü kümesi, fonksiyonun tanım kümesindeki tüm $x$ değerleri için alabileceği $f(x)$ değerlerinin kümesidir.
Tanım kümemiz $[0, \infty)$ olduğundan, $x$ en az $0$ olabilir. Bu durumda $f(0) = \sqrt{0} = 0$ olur.
$x$ değerleri arttıkça, $\sqrt{x}$ değerleri de artar ve herhangi bir üst sınıra ulaşmaz. Örneğin, $x = 100$ için $f(100) = 10$, $x = 10000$ için $f(10000) = 100$ gibi.
Ayrıca, herhangi bir $y \ge 0$ değeri için, $y = \sqrt{x}$ denklemini sağlayan bir $x$ değeri bulabiliriz. Her iki tarafın karesini alırsak $x = y^2$ olur. $y \ge 0$ olduğu için $y^2 \ge 0$ olacaktır, yani $x$ değeri tanım kümemizde yer alır. Bu da demektir ki, $0$ ve tüm pozitif gerçek sayılar fonksiyonun görüntü kümesindedir. Bu ifade DOĞRUdur.
Bir fonksiyonun tek (odd) olması için iki şartın sağlanması gerekir:
Fonksiyonumuzun tanım kümesi $[0, \infty)$'dur. Bu küme orijine göre simetrik değildir. Örneğin, $1$ bu kümededir ama $-1$ bu kümede değildir. Bu nedenle, fonksiyonun tek olması mümkün değildir.
Tanım kümesi simetrik olmadığı için ikinci şartı kontrol etmeye bile gerek kalmaz. Ancak yine de kontrol edelim: $f(x) = \sqrt{x}$ ve $-f(x) = -\sqrt{x}$. $f(-x) = \sqrt{-x}$ ifadesi, $x > 0$ için gerçek sayılarda tanımlı değildir. Dolayısıyla $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlanamaz.
Bu ifade YANLIŞtır.
Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
