AYT Matematik konuları Test 1

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) Tanımsız

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir rasyonel ifadenin limitini bulmamız isteniyor. Limit problemlerini çözerken ilk yapmamız gereken şey, $x$ değerini doğrudan ifadeye yerine koyarak bir belirsizlik durumu olup olmadığını kontrol etmektir.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma ve Belirsizlik Kontrolü

Verilen limit ifadesi $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ şeklindedir. Eğer $x = 2$ değerini doğrudan ifadeye yerine koyarsak:

• Pay: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
• Payda: $2 - 2 = 0$

Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, ifadenin sadeleştirilmesi gerektiğini gösterir.

• Adım 2: İfadeyi Sadeleştirme (Çarpanlara Ayırma)

Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir. Yani $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ kuralını kullanarak çarpanlarına ayırabiliriz. Burada $a = x$ ve $b = 2$ olduğundan:

• $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Şimdi bu çarpanlara ayrılmış ifadeyi limit denklemine geri yazalım:

• $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
• Adım 3: Ortak Terimleri Sadeleştirme

$x \to 2$ demek, $x$'in $2$'ye çok yaklaştığı ama asla tam olarak $2$ olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle $x - 2 \neq 0$ diyebiliriz. Bu durumda, pay ve paydadaki $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

• $\lim_{x \to 2} (x + 2)$
• Adım 4: Sadeleştirilmiş İfadeyi Değerlendirme

İfadeyi sadeleştirdikten sonra artık bir belirsizlik kalmadı. Şimdi $x = 2$ değerini sadeleşmiş ifadeye doğrudan yerine koyabiliriz:

• $2 + 2 = 4$

Bu durumda, limitin değeri $4$'tür.

Cevap C seçeneğidir.