Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir logaritma ifadesini kullanarak başka bir logaritma ifadesinin değerini bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken logaritma özelliklerini ve taban değiştirme kuralını çok iyi bilmemiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Verilen ve İstenen İfadeleri İnceleyelim
- Bize verilen bilgi: $\log_2 3 = a$. Gördüğünüz gibi, bu ifade 2 tabanında.
- Bizden istenen ifade: $\log_6 24$. Bu ifade ise 6 tabanında.
- Farklı tabanlarda çalıştığımız için, taban değiştirme kuralını kullanmak iyi bir başlangıç olacaktır.
- Adım 2: Taban Değiştirme Kuralını Uygulayalım
- Logaritmanın taban değiştirme kuralı şöyledir: $\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}$.
- Bizim elimizde 2 tabanında bir bilgi olduğu için, istenen ifadeyi de 2 tabanına çevirelim. Yani $c=2$ alalım.
- $\log_6 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 6}$
- Adım 3: Paydaki İfadeyi ( $\log_2 24$ ) Düzenleyelim
- Şimdi pay kısmındaki $\log_2 24$ ifadesini, bildiğimiz $\log_2 3 = a$ ifadesini kullanabileceğimiz şekilde yazmalıyız.
- Bunun için 24 sayısını 2 ve 3'ün kuvvetleri şeklinde çarpanlarına ayıralım: $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$.
- Şimdi bu ifadeyi logaritmanın içine yazalım: $\log_2 24 = \log_2 (2^3 \times 3)$.
- Logaritmanın çarpma özelliğini hatırlayalım: $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$.
- Bu özelliği uygulayalım: $\log_2 (2^3 \times 3) = \log_2 (2^3) + \log_2 3$.
- Logaritmanın üs özelliğini hatırlayalım: $\log_b (x^k) = k \log_b x$.
- Bu özelliği uygulayalım: $\log_2 (2^3) = 3 \log_2 2$.
- Ayrıca, $\log_b b = 1$ olduğunu biliyoruz, yani $\log_2 2 = 1$.
- O halde, $\log_2 (2^3) = 3 \times 1 = 3$.
- Sonuç olarak, paydaki ifade şuna dönüşür: $\log_2 24 = 3 + \log_2 3$.
- Bize verilen $\log_2 3 = a$ bilgisini yerine yazarsak: $\log_2 24 = 3 + a$.
- Adım 4: Paydadaki İfadeyi ( $\log_2 6$ ) Düzenleyelim
- Şimdi de payda kısmındaki $\log_2 6$ ifadesini düzenleyelim.
- 6 sayısını 2 ve 3'ün çarpanları şeklinde yazalım: $6 = 2 \times 3$.
- Bu ifadeyi logaritmanın içine yazalım: $\log_2 6 = \log_2 (2 \times 3)$.
- Logaritmanın çarpma özelliğini uygulayalım: $\log_2 (2 \times 3) = \log_2 2 + \log_2 3$.
- $\log_2 2 = 1$ olduğunu biliyoruz.
- Bize verilen $\log_2 3 = a$ bilgisini yerine yazarsak: $\log_2 6 = 1 + a$.
- Adım 5: Düzenlediğimiz İfadeleri Birleştirelim
- Şimdi Adım 2'de bulduğumuz ifadeye, Adım 3 ve Adım 4'te bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
- $\log_6 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 6} = \frac{3 + a}{1 + a}$
- Adım 6: Sonucu Kontrol Edelim
- Bulduğumuz sonuç $\frac{3+a}{1+a}$ ifadesidir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade C seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
