10. Sınıf Kombinasyon (Seçme) Formülü ve Hesaplama Test 2

Bir kitapçıda 6 roman, 4 şiir ve 2 tarih kitabı bulunmaktadır. Bir müşteri 2 roman, 2 şiir ve 1 tarih kitabı almak istiyor. Kaç farklı seçim yapabilir?

A) 180
B) 240
C) 360
D) 720

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde farklı türdeki kitaplar arasından belirli sayıda kitap seçme durumunu inceliyoruz. Bu tür seçim problemlerinde, seçimin sırası önemli olmadığı için "kombinasyon" kavramını kullanırız. Kombinasyon formülü, $n$ farklı öğe arasından $k$ öğeyi kaç farklı şekilde seçebileceğimizi gösterir ve $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklinde ifade edilir. Şimdi adım adım çözümleyelim:

• Adım 1: Roman kitapları için seçim sayısını bulalım.

  Kitapçıda 6 roman kitabı bulunmaktadır ve müşteri 2 roman kitabı almak istemektedir. Bu durumda, 6 romandan 2 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi hesaplamamız gerekir. Kombinasyon formülünü kullanarak:

  $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$ farklı şekilde roman seçimi yapılabilir.

• Adım 2: Şiir kitapları için seçim sayısını bulalım.

  Kitapçıda 4 şiir kitabı bulunmaktadır ve müşteri 2 şiir kitabı almak istemektedir. Bu durumda, 4 şiir kitabından 2 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi hesaplayalım:

  $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ farklı şekilde şiir seçimi yapılabilir.

• Adım 3: Tarih kitapları için seçim sayısını bulalım.

  Kitapçıda 2 tarih kitabı bulunmaktadır ve müşteri 1 tarih kitabı almak istemektedir. Bu durumda, 2 tarih kitabından 1 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi hesaplayalım:

  $\binom{2}{1} = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = \frac{2 \times 1}{1 \times 1} = 2$ farklı şekilde tarih seçimi yapılabilir.

• Adım 4: Toplam farklı seçim sayısını bulalım.

  Müşteri hem roman, hem şiir, hem de tarih kitabı seçeceği için, her bir kategori için bulduğumuz seçim sayılarını çarparak toplam farklı seçim sayısını buluruz. Bu, "çarpma kuralı" olarak bilinir.

  Toplam Seçim Sayısı = (Roman Seçim Sayısı) $\times$ (Şiir Seçim Sayısı) $\times$ (Tarih Seçim Sayısı)

  Toplam Seçim Sayısı = $15 \times 6 \times 2$

  Toplam Seçim Sayısı = $90 \times 2$

  Toplam Seçim Sayısı = $180$ farklı seçim yapılabilir.

Bu durumda, müşteri 180 farklı şekilde kitaplarını seçebilir.

Cevap A seçeneğidir.