8 kişilik bir arkadaş grubundan 5 kişi sinemaya gidecektir. Aralarında Ayşe ve Mehmet'in bulunduğu bu grupta, Ayşe sinemaya kesinlikle gidecek ama Mehmet gitmeyecektir. Kaç farklı ekip oluşturulabilir?
A) 15
B) 20
C) 21
D) 35
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, kombinasyon konusunu anlamamız için harika bir örnek. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.
- Adım 1: Toplam Durumu Anlayalım
- Başlangıçta 8 kişilik bir arkadaş grubumuz var ve bu gruptan 5 kişi sinemaya gidecek.
- Grupta Ayşe ve Mehmet de bulunuyor.
- Adım 2: Ayşe'nin Durumunu Değerlendirelim
- Ayşe sinemaya kesinlikle gidecek. Bu, seçilecek 5 kişiden birinin Ayşe olduğu anlamına gelir.
- Yani, sinema grubunun 1 üyesi (Ayşe) zaten belirlenmiş durumda.
- Geriye seçmemiz gereken kişi sayısı $5 - 1 = 4$ kişidir.
- Adım 3: Mehmet'in Durumunu Değerlendirelim
- Mehmet sinemaya kesinlikle gitmeyecek. Bu, Mehmet'i seçme ihtimalimizin olmadığı anlamına gelir.
- Dolayısıyla, Mehmet'i, seçim yapacağımız kişi havuzundan çıkarmamız gerekir.
- Adım 4: Seçim Yapılacak Kişi Havuzunu Belirleyelim
- Başlangıçta 8 kişi vardı.
- Ayşe zaten seçildiği için, onu artık "seçilecekler" listesinden çıkarırız. (1 kişi eksildi)
- Mehmet kesinlikle gitmeyeceği için, onu da "seçilebilecekler" listesinden çıkarırız. (1 kişi daha eksildi)
- Bu durumda, seçim yapabileceğimiz kişi sayısı $8 - 1 (\text{Ayşe}) - 1 (\text{Mehmet}) = 6$ kişidir. Bu 6 kişi, Ayşe ve Mehmet dışındaki diğer arkadaşlardır.
- Adım 5: Kalan Kişilerden Seçim Yapma
- Şimdi, Ayşe'nin yanına gidecek 4 kişiyi, Ayşe ve Mehmet dışındaki 6 kişiden seçmemiz gerekiyor.
- Bu bir kombinasyon problemidir, çünkü kişilerin seçilme sırası önemli değildir; önemli olan kimlerin bir araya geldiğidir.
- Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
- Burada $n = 6$ (seçim yapılacak kişi sayısı) ve $k = 4$ (seçilecek kişi sayısı).
- Adım 6: Hesaplamayı Yapalım
- $C(6, 4) = \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!}$
- $= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$
- $= \frac{6 \times 5}{2 \times 1}$
- $= \frac{30}{2}$
- $= 15$
Bu durumda, 15 farklı ekip oluşturulabilir.
Cevap B seçeneğidir.
