Yatayla a açısı yapacak şekilde v₀ hızıyla atılan bir cismin menzil formülü $R = \frac{v_0^2 \sin(2a)}{g}$'dir.
Buna göre, aynı v₀ hızıyla atılan bir cismin menzilinin maksimum olması için a açısı kaç derece olmalıdır?
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir cismin yatayda alabileceği en uzak mesafeyi (menzili) belirleyen formülü kullanarak, menzilin maksimum olmasını sağlayan atış açısını bulacağız. Hadi adım adım ilerleyelim!
1. Menzil Formülünü Hatırlayalım:
Soruda bize verilen menzil formülü şöyledir: $R = \frac{v_0^2 \sin(2a)}{g}$
Burada $R$ cismin yatayda aldığı menzili, $v_0$ cismin ilk atış hızını (sabit), $a$ cismin yatayla yaptığı atış açısını ve $g$ yer çekimi ivmesini (sabit) temsil eder. Amacımız, $R$ değerini maksimum yapmaktır.
2. Menzili Etkileyen Değişkeni Belirleyelim:
Formülde $v_0$ (ilk hız) ve $g$ (yer çekimi ivmesi) sabit değerlerdir. Bu durumda, $R$ menzilinin değerini değiştirebilecek tek kısım $\sin(2a)$ ifadesidir. Menzilin maksimum olması için, $\sin(2a)$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri alması gerekir.
3. Sinüs Fonksiyonunun Maksimum Değerini Bulalım:
Sinüs fonksiyonu, trigonometride $-1$ ile $1$ arasında değerler alır. Yani, bir açının sinüs değeri en fazla $1$ olabilir. $\sin(x)$ ifadesinin maksimum değeri $1$'dir ve bu değer, $x$ açısı $90^\circ$ olduğunda elde edilir. Matematiksel olarak $\sin(90^\circ) = 1$ diyebiliriz.
4. $\sin(2a)$ İfadesini Maksimum Yapalım:
Menzilin maksimum olması için $\sin(2a)$ ifadesinin $1$ olması gerektiğini biliyoruz. O halde:
$\sin(2a) = 1$
Bu eşitliğin sağlanması için, sinüs fonksiyonunun içindeki açı olan $2a$'nın $90^\circ$ olması gerekir:
$2a = 90^\circ$
5. Atış Açısı $a$'yı Hesaplayalım:
$2a = 90^\circ$ eşitliğini $a$ için çözersek:
$a = \frac{90^\circ}{2}$
$a = 45^\circ$
Bu durumda, cismin menzilinin maksimum olması için atış açısı $45^\circ$ olmalıdır.
Seçeneklere baktığımızda, $45^\circ$ değeri C seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
