Verilen soru, $ln(x)$ fonksiyonunun türevini bulmamızı istemektedir. Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını ifade eden temel bir matematiksel kavramdır.
- Matematikte, bazı temel fonksiyonların türevleri standart kurallar olarak belirlenmiştir. Bu kuralları bilmek, türev alma işlemlerini hızlandırır ve doğru sonuçlara ulaşmamızı sağlar.
- Bize verilen fonksiyon doğal logaritma fonksiyonu, yani $f(x) = ln(x)$'tir. Burada $ln(x)$, tabanı Euler sabiti olan $e$ sayısı ($e \approx 2.718$) olan logaritmayı ifade eder.
- Doğal logaritma fonksiyonu $f(x) = ln(x)$'in türevi, yani $f'(x)$ veya $\frac{d}{dx}(ln(x))$, matematiksel olarak aşağıdaki gibi tanımlanmış bir kuraldır:
- $\frac{d}{dx}(ln(x)) = \frac{1}{x}$
- Bu kuralın geçerli olması için $x > 0$ olmalıdır, çünkü $ln(x)$ fonksiyonu sadece pozitif $x$ değerleri için tanımlıdır.
- Şimdi verilen seçenekleri inceleyelim ve bulduğumuz türev ile karşılaştıralım:
- A) $e^x$: Bu, $e^x$ fonksiyonunun türevidir, $ln(x)$'in değil. Yani $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
- B) $\frac{1}{x}$: Bu seçenek, $ln(x)$ fonksiyonunun doğru türevini vermektedir.
- C) $x$: Bu, $ln(x)$'in türevi değildir. Örneğin, $\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ olur.
- D) $x \cdot ln(x)$: Bu da $ln(x)$'in türevi değildir. Ürün kuralı ile türevi alınırsa farklı bir sonuç elde edilir.
- Bu adımları takip ederek, $ln(x)$ fonksiyonunun türevinin $\frac{1}{x}$ olduğunu açıkça görmüş oluruz. Bu temel türev kuralını hatırlamak, birçok ileri düzey matematik probleminde size yardımcı olacaktır.
Cevap B seçeneğidir.
