Elif, sayı kümelerinin "arada olma" özelliğini incelerken iki farklı gözlem yapar:
I. Herhangi iki tam sayı arasında daima başka bir tam sayı bulunur.
II. Herhangi iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı bulunur.
Bu gözlemlerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) Ne I ne de II
Elif'in sayı kümeleriyle ilgili gözlemlerini inceleyelim:
- I. Gözlem: Herhangi iki tam sayı arasında daima başka bir tam sayı bulunur.
- Bu ifade yanlıştır. Çünkü tam sayılar ardışık olarak ilerler. Örneğin, 2 ve 3 tam sayılarını ele alalım. 2 ile 3 arasında başka bir tam sayı yoktur. Tam sayılar kümesi süreklilik göstermez, yani aralarında boşluklar bulunur.
- II. Gözlem: Herhangi iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı bulunur.
- Bu ifade doğrudur. İki rasyonel sayı, örneğin $a$ ve $b$ verildiğinde (ve $a < b$), bu iki sayının ortalaması olan $\frac{a+b}{2}$ de bir rasyonel sayıdır ve $a$ ile $b$ arasındadır. Bu işlemi sonsuza kadar tekrarlayabiliriz, yani her zaman iki rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bulabiliriz. Bu özelliğe rasyonel sayıların yoğunluğu denir.
Sonuç olarak, I. gözlem yanlış, II. gözlem doğrudur.
Cevap B seçeneğidir.
