Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir torbadan rastgele çekilen iki bilyenin aynı renk olma olasılığını bulacağız. Olasılık problemlerini çözerken, öncelikle tüm olası durumları ve ardından istediğimiz durumları belirlememiz gerekir. Haydi adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Toplam Bilye Sayısını Bulma
- Torbadaki bilyelerin renk ve sayılarını toplayarak toplam bilye sayısını bulalım:
- Kırmızı bilye sayısı: 4
- Mavi bilye sayısı: 5
- Beyaz bilye sayısı: 6
- Toplam bilye sayısı: $4 + 5 + 6 = 15$ bilye.
- Adım 2: Torbadan Çekilebilecek Tüm İki Bilye Kombinasyonlarını Bulma
- 15 bilye arasından rastgele 2 bilye çekme işleminin kaç farklı şekilde yapılabileceğini bulmak için kombinasyon formülünü kullanırız. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir. Burada $n$ toplam eleman sayısı, $k$ ise seçilecek eleman sayısıdır.
- Toplam bilye sayısı $n = 15$.
- Çekilecek bilye sayısı $k = 2$.
- $C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$.
- Yani, torbadan çekilebilecek toplam 105 farklı iki bilye kombinasyonu vardır. Bu, olasılık hesaplamamızın paydası olacaktır.
- Adım 3: Çekilen İki Bilyenin Aynı Renk Olma Durumlarını Bulma
- Çekilen iki bilyenin aynı renk olması demek, ya ikisinin de kırmızı, ya ikisinin de mavi ya da ikisinin de beyaz olması demektir. Bu durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayacağız:
- İki Kırmızı Bilye Çekme Durumu: 4 kırmızı bilye arasından 2 kırmızı bilye seçme kombinasyonu:
- $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ farklı yol.
- İki Mavi Bilye Çekme Durumu: 5 mavi bilye arasından 2 mavi bilye seçme kombinasyonu:
- $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ farklı yol.
- İki Beyaz Bilye Çekme Durumu: 6 beyaz bilye arasından 2 beyaz bilye seçme kombinasyonu:
- $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ farklı yol.
- Aynı renk iki bilye çekme durumlarının toplamı: $6 + 10 + 15 = 31$. Bu, olasılık hesaplamamızın payı olacaktır.
Adım 4: Olasılığı Hesaplama
Olasılık, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır.
- Olasılık = $\frac{\text{Aynı renk iki bilye çekme sayısı}}{\text{Toplam iki bilye çekme sayısı}}$
- Olasılık = $\frac{31}{105}$
Bu durumda, torbadan rastgele çekilen iki bilyenin aynı renk olma olasılığı $\frac{31}{105}$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
