Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün olasılıkla ilgili güzel bir problem çözeceğiz. Bir torbadan rastgele iki bilye çektiğimizde, bu bilyelerin farklı renkte olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
-
1. Adım: Toplam Bilye Sayısını Bulalım
Torbadaki bilyelerin sayılarını toplayarak toplam bilye sayısını bulalım:
- Kırmızı bilye sayısı: $5$
- Mavi bilye sayısı: $4$
- Yeşil bilye sayısı: $3$
- Toplam bilye sayısı: $5 + 4 + 3 = 12$ bilye.
-
2. Adım: Çekilebilecek Tüm İkili Bilye Kombinasyonlarının Sayısını Bulalım
Torbadan rastgele $12$ bilye arasından $2$ bilye çekme kombinasyonlarının sayısını hesaplayalım. Bunun için kombinasyon formülünü kullanırız: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
- Toplam bilye sayısı ($n$): $12$
- Çekilen bilye sayısı ($k$): $2$
- Toplam kombinasyon sayısı: $C(12, 2) = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$.
- Yani, torbadan çekilebilecek $66$ farklı ikili bilye kombinasyonu vardır. Bu bizim olasılık hesabımızın paydası olacaktır.
-
3. Adım: Farklı Renkte Bilye Çekme Olayının Tamamlayıcısını Düşünelim (Aynı Renkte Bilye Çekme)
İki bilyenin farklı renkte olma olasılığını doğrudan hesaplamak yerine, bu olayın tamamlayıcısı olan "iki bilyenin aynı renkte olma" olasılığını hesaplayıp $1$'den çıkarabiliriz. Bu genellikle daha kolay bir yöntemdir.
İki bilyenin aynı renkte olması için şu durumlar mümkündür:
- İkisi de Kırmızı Olması: $5$ kırmızı bilye arasından $2$ tanesini seçme kombinasyonu: $C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
- İkisi de Mavi Olması: $4$ mavi bilye arasından $2$ tanesini seçme kombinasyonu: $C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
- İkisi de Yeşil Olması: $3$ yeşil bilye arasından $2$ tanesini seçme kombinasyonu: $C(3, 2) = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.
- Aynı Renkte Olma Toplam Kombinasyon Sayısı: $10 + 6 + 3 = 19$.
-
4. Adım: Aynı Renkte Bilye Çekme Olasılığını Hesaplayalım
Aynı renkte bilye çekme olasılığı, aynı renkte çekme kombinasyonlarının toplam kombinasyon sayısına oranıdır:
- $P(\text{aynı renk}) = \frac{\text{Aynı renkte çekme kombinasyonları}}{\text{Toplam kombinasyon sayısı}} = \frac{19}{66}$.
-
5. Adım: Farklı Renkte Bilye Çekme Olasılığını Hesaplayalım
İki bilyenin farklı renkte olma olasılığı, $1$'den aynı renkte olma olasılığının çıkarılmasıyla bulunur:
- $P(\text{farklı renk}) = 1 - P(\text{aynı renk})$
- $P(\text{farklı renk}) = 1 - \frac{19}{66} = \frac{66}{66} - \frac{19}{66} = \frac{66 - 19}{66} = \frac{47}{66}$.
Bu problemde, torbadan çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı $\frac{47}{66}$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
