Bu limit, matematikte çok önemli ve sıkça karşılaşılan bir temel limittir. Adım adım nasıl çözüldüğüne bakalım:
- Öncelikle, $x \to 0$ iken pay ve paydayı ayrı ayrı inceleyelim. Pay ($\sin x$) $x \to 0$ olduğunda $\sin 0 = 0$ olur. Payda ($x$) $x \to 0$ olduğunda $0$ olur.
- Bu durumda, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsiz formuna sahiptir. Belirsiz formlarla karşılaştığımızda, genellikle L'Hôpital Kuralı'nı veya özel limit özelliklerini kullanırız. Bu durumda L'Hôpital Kuralı oldukça kullanışlıdır.
- L'Hôpital Kuralı'na göre, eğer $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ limiti $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsiz formundaysa, o zaman $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ eşitliği geçerlidir (eğer sağdaki limit varsa).
- Şimdi pay ve paydanın türevlerini alalım. Payın türevi ($f(x) = \sin x$) $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$'tir. Paydanın türevi ($g(x) = x$) $g'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$'dir.
- L'Hôpital Kuralı'nı uygulayarak yeni limiti hesaplayalım: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$.
- Şimdi bu yeni limiti değerlendirelim. $x \to 0$ olduğunda $\cos x \to \cos 0$.
- $\cos 0 = 1$ olduğundan, limitin değeri $1$'dir.
- Bu limitin değeri $1$ olarak kabul edilen temel bir limit olduğunu da belirtmek gerekir. Geometrik olarak birim çember ve alanlar kullanılarak da ispatlanabilir (Sıkıştırma Teoremi ile).
Cevap B seçeneğidir.
