Kütle merkezi nedir Test 2

Bir öğrenci, üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş noktalar bulunan çubuk üzerine farklı kütlelerde ağırlıklar asıyor. Çubuğun kütlesi önemsizdir. 2 kg'lık ağırlık 1. işarete, 4 kg'lık ağırlık 4. işarete, 6 kg'lık ağırlık ise 7. işarete asılıyor.
Buna göre sistemin kütle merkezi hangi işaret noktasında veya noktaları arasında bulunur?

A) 3. işarette
B) 4. işarette
C) 5. işarette
D) 6. işarette

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, farklı kütlelerdeki ağırlıkların asıldığı bir çubuğun kütle merkezini bulmamız isteniyor. Kütle merkezi, bir sistemin tüm kütlesinin yoğunlaşmış gibi davrandığı denge noktasıdır. Çubuğun kütlesi önemsiz olduğu için sadece asılan ağırlıkları dikkate alacağız. Hadi adım adım bu problemi çözelim!

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Verileri Belirleyelim

  Kütle merkezi hesaplaması için, her bir kütlenin konumunu bilmemiz gerekir. Çubuk üzerindeki işaret noktaları eşit aralıklarla olduğu için, bu noktaları bir sayı doğrusu üzerindeki konumlar gibi düşünebiliriz. Örneğin, 1. işareti 1 birim, 2. işareti 2 birim ve bu şekilde devam ederek 7. işareti 7 birim olarak kabul edebiliriz. Bu, hesaplamalarımızı basitleştirecektir.

  Kütle merkezi ($X_{CM}$) formülü şöyledir: $X_{CM} = \frac{\sum (m_i \cdot x_i)}{\sum m_i}$

  Burada $m_i$ her bir kütleyi, $x_i$ ise o kütlenin konumunu temsil eder. Verilenleri listeleyelim:

  • 1. kütle ($m_1$): $2 \text{ kg}$, konumu ($x_1$): 1. işaret
  • 2. kütle ($m_2$): $4 \text{ kg}$, konumu ($x_2$): 4. işaret
  • 3. kütle ($m_3$): $6 \text{ kg}$, konumu ($x_3$): 7. işaret
• Adım 2: Her Bir Kütlenin Konumla Çarpımını (Momentini) Hesaplayalım

  Şimdi, her bir kütlenin kendi konum değeriyle çarpımını bulalım. Bu çarpımlar, kütle merkezinin nerede olacağını belirlemede bize yardımcı olacak "ağırlıklandırılmış konum" değerleridir.

  • 1. kütle için: $m_1 \cdot x_1 = 2 \text{ kg} \cdot 1 = 2$
  • 2. kütle için: $m_2 \cdot x_2 = 4 \text{ kg} \cdot 4 = 16$
  • 3. kütle için: $m_3 \cdot x_3 = 6 \text{ kg} \cdot 7 = 42$
• Adım 3: Toplam Kütleyi ve Toplam (Kütle x Konum) Çarpımını Bulalım

  Kütle merkezi formülünün pay ve paydasını hesaplamak için bu toplam değerlere ihtiyacımız var.

  • Toplam Kütle ($M_{toplam}$): Tüm kütleleri toplayalım: $M_{toplam} = m_1 + m_2 + m_3 = 2 \text{ kg} + 4 \text{ kg} + 6 \text{ kg} = 12 \text{ kg}$
  • Toplam (Kütle x Konum) Çarpımı ($\sum (m_i \cdot x_i)$): Adım 2'de bulduğumuz değerleri toplayalım: $\sum (m_i \cdot x_i) = 2 + 16 + 42 = 60$
• Adım 4: Kütle Merkezinin Konumunu Hesaplayalım

  Şimdi, kütle merkezi formülünü kullanarak $X_{CM}$ değerini bulabiliriz:

  $X_{CM} = \frac{\sum (m_i \cdot x_i)}{M_{toplam}} = \frac{60}{12} = 5$

• Adım 5: Sonucu Yorumlayalım

  Hesapladığımız $X_{CM} = 5$ değeri, sistemin kütle merkezinin 5. işaret noktasında bulunduğunu gösterir. Bu nokta, çubuğu dengeleyebileceğimiz yerdir.

Bu tür problemlerde, kütle merkezi her zaman daha ağır kütlelere doğru kayar. Gördüğümüz gibi, 6 kg'lık kütle 7. işarette olduğu için kütle merkezi 4. işaretten 7. işarete doğru kaymıştır.

Cevap C seçeneğidir.