Soru:
Kenar uzunluğu \( a \) olan kare şeklindeki türdeş (homojen) bir levhadan, şekildeki gibi kenar uzunluğu \( \frac{a}{2} \) olan kare bir parça çıkarılıyor. Kütle merkezi \( K \) noktasından \( L \) noktasına doğru kayıyor. Buna göre, \( \frac{|KL|}{a} \) oranı kaçtır? (O, büyük karenin merkezidir.)
Çözüm:
💡 Bu tür sorularda çıkarılan parça negatif kütle gibi düşünülerek çözüm yapılır. Büyük levhanın kütlesi \( 4M \) olsun. Bu durumda küçük karenin kütlesi \( M \) olur.
- ➡️ Eksiltilmiş sistemin kütle merkezi: \( x_{km} = \frac{m_b x_b - m_c x_c}{m_b - m_c} \). Burada \( m_b \) ve \( x_b \) bütünün, \( m_c \) ve \( x_c \) çıkarılan parçanın kütle ve kütle merkezi koordinatlarıdır.
- ➡️ Koordinat sistemini O noktasında (büyük karenin merkezi) sıfır kabul edelim. Büyük karenin kütle merkezi: \( x_b = 0 \), kütlesi: \( 4M \).
- ➡️ Çıkarılan küçük karenin kütle merkezi (K noktası), O noktasına göre \( x_c = +\frac{a}{2} \) birimdedir. Kütlesi: \( M \).
- ➡️ Hesaplayalım: \( x_{km} = \frac{(4M)(0) - (M)(\frac{a}{2})}{4M - M} = \frac{0 - \frac{Ma}{2}}{3M} = -\frac{a}{6} \).
- ➡️ Bu sonuç, kütle merkezinin O noktasından sola doğru (L yönünde) \( \frac{a}{6} \) birim kaydığını gösterir. Yani \( |KL| = \frac{a}{6} \)'dır.
- ➡️ İstenen oran: \( \frac{|KL|}{a} = \frac{\frac{a}{6}}{a} = \frac{1}{6} \).
✅ Sonuç: \( \frac{|KL|}{a} = \frac{1}{6} \) olur.
