Soru:
Kenar uzunlukları \(a\) olan kare şeklindeki homojen bir levhadan, bir kenarın orta noktasına teğet olacak şekilde yarıçapı \(\frac{a}{4}\) olan bir dairesel parça çıkarılıyor. Kare levhanın kütlesi \(M\) ise, kütle merkezi hangi yönde ve ne kadar yer değiştirir?
Çözüm:
💡 Eksiltme yöntemini kullanacağız. Çıkarılan parçayı negatif kütle olarak düşüneceğiz.
- ➡️ Koordinat Sistemi: Karenin bir köşesini orijin, kenarları da eksenler olacak şekilde yerleştirelim. Karenin ilk kütle merkezi: \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\).
- ➡️ Çıkarılan Dairenin Konumu: Daire, alt kenarın orta noktasına teğet. Alt kenarın orta noktası \((\frac{a}{2}, 0)\). Dairenin merkezi bu noktadan yukarıya doğru yarıçap kadar, yani \((\frac{a}{2}, \frac{a}{4})\) noktasındadır.
- ➡️ Kütleler: Tam karenin kütlesi \(M\). Çıkarılan dairenin alanı \(\pi (\frac{a}{4})^2 = \frac{\pi a^2}{16}\). Karenin alanı \(a^2\). Öyleyse dairenin kütlesi \(m_{daire} = \frac{\frac{\pi a^2}{16}}{a^2} M = \frac{\pi M}{16}\). Kalan kütle \(M_{kalan} = M - \frac{\pi M}{16} = M(1 - \frac{\pi}{16})\).
- ➡️ Kütle Merkezinin Yer Değiştirmesi:
\( \Delta x = \frac{(M_{kare} \cdot x_{kare}) - (m_{daire} \cdot x_{daire})}{M_{kalan}} - x_{kare} \)
Bu formülü basitleştirirsek: \(\Delta x = \frac{ - (m_{daire} \cdot x_{daire})}{M_{kalan}}\)
Aynı mantık \(y\) için de geçerli.
\(\Delta x = \frac{ - (\frac{\pi M}{16} \cdot \frac{a}{2})}{M(1 - \frac{\pi}{16})} = \frac{ -\frac{\pi a}{32} }{1 - \frac{\pi}{16}}\)
\(\Delta y = \frac{ - (\frac{\pi M}{16} \cdot \frac{a}{4})}{M(1 - \frac{\pi}{16})} = \frac{ -\frac{\pi a}{64} }{1 - \frac{\pi}{16}}\)
✅ Sonuç, kütle merkezi sola (\(\Delta x\) negatif) ve aşağıya (\(\Delta y\) negatif) doğru kayar. Yer değiştirme miktarı vektörel olarak hesaplanır.
