Soru:
Homojen bir çubuk şekildeki gibi O noktasından iki parçaya ayrılıyor. Çubuğun toplam uzunluğu \( 4L \) ve kütlesi \( 4m \)'dir. Kısa parçanın uzunluğu \( L \), uzun parçanın uzunluğu \( 3L \)'dir. Buna göre, çubuğun kütle merkezi O noktasından kaç \( L \) uzaklıktadır?
Çözüm:
💡 Homojen bir çubukta kütle, uzunlukla doğru orantılıdır. Önce parçaların kütlelerini bulalım.
- ➡️ Toplam uzunluk \( 4L \), toplam kütle \( 4m \) olduğundan, birim uzunluğun kütlesi \( \frac{4m}{4L} = \frac{m}{L} \) olur.
- ➡️ Kısa parça (\( L \) uzunluğunda): Kütlesi \( m_k = \frac{m}{L} \times L = m \)
- ➡️ Uzun parça (\( 3L \) uzunluğunda): Kütlesi \( m_u = \frac{m}{L} \times 3L = 3m \)
- ➡️ Şimdi kütle merkezini bulmak için bir referans noktası seçelim. O noktasını (0) referans alalım. Kısa parçanın kütle merkezi O noktasından \( -\frac{L}{2} \) kadar, uzun parçanın kütle merkezi ise O noktasından \( +\frac{3L}{2} \) kadar uzaktadır.
- ➡️ Kütle merkezi formülü: \( x_{km} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2} \)
- ➡️ Hesaplayalım: \( x_{km} = \frac{(m) \cdot (-\frac{L}{2}) + (3m) \cdot (\frac{3L}{2})}{m + 3m} = \frac{ -\frac{mL}{2} + \frac{9mL}{2} }{4m} = \frac{ \frac{8mL}{2} }{4m} = \frac{4mL}{4m} = L \)
✅ Sonuç: Kütle merkezi O noktasından \( L \) uzaklıktadır.
