Soru:
Homojen bir çubuk, uzunluğunun \(\frac{L}{4}\) noktasından katlanarak şekildeki gibi dik konuma getiriliyor. Çubuğun kütlesi \(m\) ve uzunluğu \(L\)'dir. Oluşan yeni şeklin kütle merkezinin, çubuğun bükülme noktasına olan uzaklığı kaç \(L\)'dir?
Çözüm:
💡 Çubuğu iki parça olarak düşünelim: yatay ve dikey parça.
- ➡️ Yatay Parça: Uzunluğu \(\frac{3L}{4}\), kütlesi \(\frac{3m}{4}\). Kütle merkezi, bükülme noktasından yatayda \(\frac{3L}{8}\) uzaklıkta.
- ➡️ Dikey Parça: Uzunluğu \(\frac{L}{4}\), kütlesi \(\frac{m}{4}\). Kütle merkezi, bükülme noktasından dikeyde \(\frac{L}{8}\) uzaklıkta (parçanın orta noktası).
- ➡️ Koordinat Sistemi: Bükülme noktasını orijin (0,0) alalım. Yatay parçanın kütle merkezi: (\(-\frac{3L}{8}\), 0). Dikey parçanın kütle merkezi: (0, \(\frac{L}{8}\)).
- ➡️ Toplam Kütle Merkezi:
\(x_{km} = \frac{(\frac{3m}{4})(-\frac{3L}{8}) + (\frac{m}{4})(0)}{m} = \frac{-\frac{9mL}{32}}{m} = -\frac{9L}{32}\)
\(y_{km} = \frac{(\frac{3m}{4})(0) + (\frac{m}{4})(\frac{L}{8})}{m} = \frac{\frac{mL}{32}}{m} = \frac{L}{32}\)
- ➡️ Orijine Uzaklık: \(\sqrt{(-\frac{9L}{32})^2 + (\frac{L}{32})^2} = \sqrt{\frac{81L^2}{1024} + \frac{L^2}{1024}} = \sqrt{\frac{82L^2}{1024}} = \frac{L\sqrt{82}}{32}\)
✅ Sonuç, bükülme noktasına olan uzaklık \(\frac{\sqrt{82}}{32}L\)'dir.
