Soru:
Kütlesi \(4m\), yarıçapı \(R\) olan homojen bir diskten, merkezine uzaklığı \(\frac{R}{2}\) olan noktada, yarıçapı \(\frac{R}{4}\) olan küçük bir disk çıkarılıyor. Büyük diskin merkezi orijinde ise, kalan şeklin kütle merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm:
💡 Yine eksiltme yöntemini kullanacağız. Büyük diski pozitif, çıkarılan küçük diski negatif kütle olarak alacağız.
- ➡️ Kütleler: Büyük diskin kütlesi \(M = 4m\). Küçük diskin yarıçapı büyüğünün \(\frac14\)'ü, yani alanı \((\frac14)^2 = \frac{1}{16}\) katıdır. Kütlesi de aynı oranda olacağından, \(m_{küçük} = \frac{4m}{16} = \frac{m}{4}\). Kalan kütle: \(M_{kalan} = 4m - \frac{m}{4} = \frac{16m - m}{4} = \frac{15m}{4}\).
- ➡️ Konumlar: Büyük diskin kütle merkezi: \((0, 0)\). Küçük diskin merkezi, büyük diskin merkezinden \(x\) ekseni boyunca \(\frac{R}{2}\) uzaklıkta, yani \((\frac{R}{2}, 0)\).
- ➡️ Kütle Merkezi Formülü (Eksiltme):
\(x_{km} = \frac{M \cdot 0 - m_{küçük} \cdot \frac{R}{2}}{M_{kalan}} = \frac{0 - (\frac{m}{4} \cdot \frac{R}{2})}{\frac{15m}{4}} = \frac{ -\frac{mR}{8} }{\frac{15m}{4}} = -\frac{mR}{8} \cdot \frac{4}{15m} = -\frac{R}{30}\)
\(y_{km} = \frac{M \cdot 0 - m_{küçük} \cdot 0}{M_{kalan}} = 0\)
✅ Sonuç, kalan şeklin kütle merkezi \((-\frac{R}{30}, 0)\) noktasındadır. Yani, çıkarılan parçanın tersi yönünde kaymıştır.
