Soru:
Kütleleri \( 2m \), \( 3m \) ve \( 5m \) olan üç noktasal cisim, bir kenarı \( a \) uzunluğunda olan eşkenar üçgenin köşelerine şekildeki gibi yerleştirilmiştir. \( 2m \) kütlesi A köşesinde, \( 3m \) kütlesi B köşesinde, \( 5m \) kütlesi C köşesindedir. Bu sistemin kütle merkezinin A köşesine olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
💡 Kütle merkezinin koordinatlarını bulmak için bir koordinat sistemi seçmeliyiz. A köşesini orijin (0,0) ve AB kenarını x-ekseni üzerine alalım.
- ➡️ Noktaların koordinatlarını belirleyelim:
- A(0, 0) - Kütle: \( 2m \)
- B(\( a \), 0) - Kütle: \( 3m \)
- C(\( \frac{a}{2} \), \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \)) - Kütle: \( 5m \)
- ➡️ Toplam kütle: \( M = 2m + 3m + 5m = 10m \)
- ➡️ Kütle merkezi koordinatları:
\( x_{km} = \frac{(2m)(0) + (3m)(a) + (5m)(\frac{a}{2})}{10m} = \frac{0 + 3a + 2.5a}{10} = \frac{5.5a}{10} = 0.55a \)
\( y_{km} = \frac{(2m)(0) + (3m)(0) + (5m)(\frac{a\sqrt{3}}{2})}{10m} = \frac{0 + 0 + \frac{5a\sqrt{3}}{2}}{10} = \frac{5a\sqrt{3}}{20} = 0.25a\sqrt{3} \)
- ➡️ A noktasına (0,0) uzaklığını bulalım:
\( d = \sqrt{(x_{km})^2 + (y_{km})^2} = \sqrt{(0.55a)^2 + (0.25a\sqrt{3})^2} \)
\( d = \sqrt{0.3025a^2 + (0.0625 \cdot 3)a^2} = \sqrt{0.3025a^2 + 0.1875a^2} = \sqrt{0.49a^2} = 0.7a \)
✅ Sistemin kütle merkezinin A köşesine olan uzaklığı \( 0.7a \)'dır.
