Soru:
Kenar uzunlukları 4 cm ve 6 cm olan homojen, dikdörtgen bir levhadan, şekildeki gibi kenar uzunluğu 2 cm olan kare bir parça çıkarılıyor. Kütle merkezi, O noktasından (orijin) hangi yönde ve ne kadar ötelenir? (O noktası, büyük dikdörtgenin sol alt köşesidir.)
Not: Büyük levhanın kütle merkezi başlangıçta (2, 3) cm noktasındaydı. Çıkarılan küçük karenin kütle merkezi (3, 5) cm noktasındadır.
Çözüm:
💡 Bir cisimden parça çıkarıldığında, kalan kısmın kütle merkezi, çıkarılan parçayı negatif kütle olarak düşünerek bulunabilir. Homojen olduğu için kütleler alanlarla orantılıdır.
- ➡️ Büyük levhanın alanı: \( A_b = 4 \times 6 = 24 \, \text{cm}^2 \)
- ➡️ Çıkarılan karenin alanı: \( A_c = 2 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2 \)
- ➡️ Kalan cismin kütle merkezi formülü:
\( x_{km} = \frac{A_b \cdot x_b - A_c \cdot x_c}{A_b - A_c} \)
ve
\( y_{km} = \frac{A_b \cdot y_b - A_c \cdot y_c}{A_b - A_c} \)
- ➡️ Hesaplama (x ekseni):
\( x_{km} = \frac{24 \cdot 2 - 4 \cdot 3}{24 - 4} = \frac{48 - 12}{20} = \frac{36}{20} = 1.8 \, \text{cm} \)
- ➡️ Hesaplama (y ekseni):
\( y_{km} = \frac{24 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{24 - 4} = \frac{72 - 20}{20} = \frac{52}{20} = 2.6 \, \text{cm} \)
- ➡️ Ötelenme Miktarı: Başlangıçta KM (2, 3) idi. Şimdi (1.8, 2.6). Fark: \( \Delta x = 1.8 - 2 = -0.2 \, \text{cm} \), \( \Delta y = 2.6 - 3 = -0.4 \, \text{cm} \)
✅ Kütle merkezi, O noktasına göre sol alt yöne (yani (-0.2, -0.4) cm vektörü yönünde) kayar. Bu, çıkarılan parçanın tersi yönde bir harekettir.
