Simetri (Yansıma) nedir Test 1

Koordinat düzleminde E(-2, 7) noktasının x = 1 doğrusuna göre yansıması alınıyor. Elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4, 7)
B) (-2, -5)
C) (1, 7)
D) (-5, 7)

Koordinat düzleminde bir noktanın bir doğruya göre yansımasını bulmak, geometri ve analitik geometri konularının temel taşlarından biridir. Bu soruda, $E(-2, 7)$ noktasının $x = 1$ doğrusuna göre yansımasını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Yansıma Kavramını Anlayalım:

  Bir noktanın bir doğruya göre yansıması, o noktanın doğruya olan uzaklığı ile yansıyan noktanın doğruya olan uzaklığının eşit olduğu anlamına gelir. Ayrıca, orijinal nokta ile yansıyan noktayı birleştiren doğru parçası, yansıma doğrusuna diktir.

• 2. Noktanın ve Yansıma Doğrusunun Özelliklerini Belirleyelim:

  Verilen noktamız $E(-2, 7)$. Bu noktanın x-koordinatı $-2$, y-koordinatı $7$'dir.

  Yansıma doğrumuz $x = 1$ doğrusudur. Bu doğru, y eksenine paralel, dikey bir doğrudur. Yani, x-eksenini $1$ noktasında keser.

• 3. Dikey Bir Doğruya Göre Yansımada Koordinatların Değişimini İnceleyelim:

  Bir noktanın $x = k$ şeklindeki dikey bir doğruya göre yansıması alındığında, noktanın y-koordinatı değişmez. Çünkü yansıma dikey eksen boyunca gerçekleşir.

  Bu durumda, $E(-2, 7)$ noktasının yansıması olan $E'$ noktasının y-koordinatı yine $7$ olacaktır.

  x-koordinatı ise değişir. Orijinal noktanın x-koordinatı ile yansıma doğrusunun x-değeri arasındaki fark, yansıma doğrusu ile yansıyan noktanın x-koordinatı arasındaki farka eşittir.

• 4. x-Koordinatını Hesaplayalım:

  Orijinal noktanın x-koordinatı $x_E = -2$ ve yansıma doğrusunun x-değeri $k = 1$.

  Yansıma doğrusu ($x=1$) ile $E(-2, 7)$ noktası arasındaki yatay uzaklık:

  $|k - x_E| = |1 - (-2)| = |1 + 2| = |3| = 3$ birimdir.

  Yansıyan nokta $E'$ de yansıma doğrusundan $3$ birim uzaklıkta olmalıdır. $E$ noktası $x=1$ doğrusunun solunda olduğu için, yansıyan nokta $E'$ bu doğrunun sağında olacaktır.

  Bu durumda, $E'$ noktasının x-koordinatı $k + 3 = 1 + 3 = 4$ olur.

  Alternatif olarak, $x=k$ doğrusuna göre yansıma formülünü kullanabiliriz: $(x, y) \rightarrow (2k - x, y)$.

  Burada $x = -2$, $y = 7$ ve $k = 1$.

  Yeni x-koordinatı: $x' = 2(1) - (-2) = 2 + 2 = 4$.

  Yeni y-koordinatı: $y' = 7$ (değişmez).

• 5. Yansıyan Noktanın Koordinatlarını Belirleyelim:

  Yukarıdaki adımlardan yola çıkarak, $E(-2, 7)$ noktasının $x = 1$ doğrusuna göre yansıması olan $E'$ noktasının koordinatları $(4, 7)$ olarak bulunur.

• 6. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $(4, 7)$ koordinatları, seçeneklerdeki A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.