Eğik atış menzil formülü Test 2

Bir cisim, yatayla 37° açı yaparak \( v_0 \) hızıyla atıldığında menzili 60 metre oluyor. Aynı cisim aynı ilk hızla 53° açıyla atılsaydı menzili kaç metre olurdu? (\( \sin 37° = 0.6, \cos 37° = 0.8, \sin 53° = 0.8, \cos 53° = 0.6, g = 10 \, m/s^2 \))

A) 36
B) 48
C) 60
D) 80

Bu soruda, eğik atış hareketinde menzil kavramını ve açıların menzil üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.

• Adım 1: Eğik Atışta Menzil Formülünü Hatırlayalım
• Bir cismin yatayda aldığı yola menzil denir ve menzil ($R$) formülü şu şekildedir: $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. Bu formülde $v_0$ cismin ilk hızı, $\theta$ cismin yatayla yaptığı atış açısı ve $g$ yer çekimi ivmesidir.
• Adım 2: İlk Durumu (37° Açıyla Atış) İnceleyelim
• Cisim $37^\circ$ açıyla atıldığında menzili $60$ metre oluyormuş. Bu durumda $\theta_1 = 37^\circ$, $R_1 = 60 \, m$ ve $g = 10 \, m/s^2$ olarak verilmiştir. Ayrıca $\sin 37^\circ = 0.6$ ve $\cos 37^\circ = 0.8$ değerlerini kullanacağız.
• Öncelikle $\sin(2\theta_1)$ değerini hesaplayalım. $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta$ özdeşliğini kullanarak:

  $\sin(2 \times 37^\circ) = \sin(74^\circ) = 2 \sin 37^\circ \cos 37^\circ$

  $\sin(74^\circ) = 2 \times 0.6 \times 0.8 = 0.96$

• Şimdi menzil formülünde yerine yazarak $v_0^2$ değerini bulalım:

  $R_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_1)}{g}$

  $60 = \frac{v_0^2 \times 0.96}{10}$

  $60 \times 10 = v_0^2 \times 0.96$

  $600 = v_0^2 \times 0.96$

  $v_0^2 = \frac{600}{0.96}$

  Bu değeri şimdilik böyle bırakalım, çünkü ikinci durumda da kullanacağız.
• Adım 3: İkinci Durumu (53° Açıyla Atış) İnceleyelim
• Aynı cisim, aynı ilk hızla ($v_0$) $53^\circ$ açıyla atılsaydı menzili kaç olurdu? Bu durumda $\theta_2 = 53^\circ$ ve $v_0^2$ değeri Adım 2'de bulduğumuzla aynıdır. Ayrıca $\sin 53^\circ = 0.8$ ve $\cos 53^\circ = 0.6$ değerlerini kullanacağız.
• $\sin 53^\circ = 0.8$ ve $\cos 53^\circ = 0.6$ değerlerini kullanarak $\sin(2\theta_2)$'yi hesaplayalım:

  $\sin(2 \times 53^\circ) = \sin(106^\circ) = 2 \sin 53^\circ \cos 53^\circ$

  $\sin(106^\circ) = 2 \times 0.8 \times 0.6 = 0.96$

• Adım 4: Menzili Hesaplayalım ve Sonucu Bulalım
• Şimdi ikinci durum için menzil ($R_2$) formülünü yazalım:

  $R_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_2)}{g}$

• Adım 2'de bulduğumuz $v_0^2 = \frac{600}{0.96}$ değerini ve Adım 3'te bulduğumuz $\sin(2\theta_2) = 0.96$ değerini yerine yazalım:

  $R_2 = \frac{\left(\frac{600}{0.96}\right) \times 0.96}{10}$

  $R_2 = \frac{600}{10}$

  $R_2 = 60 \, m$

• Ek Bilgi: Fark ettiniz mi? $37^\circ$ ve $53^\circ$ açıları birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan açılardır ($37^\circ + 53^\circ = 90^\circ$). Eğik atışta, birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan açılarla (aynı ilk hızla) yapılan atışlarda menziller birbirine eşit olur. Bunun nedeni, $\sin(2\theta)$ değerinin, $\theta$ ve $90^\circ - \theta$ için aynı olmasıdır: $\sin(2(90^\circ - \theta)) = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin(2\theta)$. Bu nedenle, $37^\circ$ ve $53^\circ$ için $\sin(2\theta)$ değerleri eşit çıktı ($0.96$). Dolayısıyla menziller de eşit olmak zorundadır.

Cevap C seçeneğidir.