İki farklı cismi aynı ilk hızlarla, biri 30° diğeri 60° açılarla aynı yükseklikten atıyoruz. Hava direnci ihmal edildiğinde, bu iki cismin menzilleri için ne söylenebilir?
A) 30° ile atılanın menzili daha büyüktür
B) 60° ile atılanın menzili daha büyüktür
C) İkisinin menzili eşittir
D) Menzilleri karşılaştırılamaz
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, atış hareketinin temel prensiplerinden biri olan menzil kavramını ve açılar arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Hava direncinin ihmal edildiği ve cisimlerin aynı ilk hızlarla aynı yükseklikten atıldığı belirtiliyor. Bu tür sorularda, genellikle cisimlerin atıldığı seviyeye geri döndüğü durumlar kastedilir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- 1. Atış Hareketinin Temelleri: Bir cisim belirli bir hız ($v_0$) ve açıyla ($\theta$) atıldığında, yatayda ve düşeyde farklı hareketler yapar. Yatayda hız sabittir (hava direnci yoksa), düşeyde ise yer çekimi ivmesi ($g$) nedeniyle hız değişir.
- 2. Hız Bileşenleri: Cismin ilk hızı $v_0$ ise, yatay ve düşey hız bileşenleri şu şekildedir:
- Yatay hız bileşeni: $v_x = v_0 \cos\theta$
- Düşey hız bileşeni: $v_y = v_0 \sin\theta$
- 3. Uçuş Süresi (Aynı Yüksekliğe Dönüş): Cisim atıldığı yükseklikten tekrar aynı yüksekliğe dönene kadar geçen süreye uçuş süresi ($t_{uçuş}$) denir. Bu süre, sadece düşey hareket bileşenine bağlıdır ve şu formülle hesaplanır:
- $t_{uçuş} = \frac{2 v_y}{g} = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$
- 4. Menzil (Yatayda Kat Edilen Mesafe): Menzil ($R$), cismin yatayda kat ettiği toplam mesafedir. Yatay hız sabit olduğu için menzil, yatay hız bileşeni ile uçuş süresinin çarpımıdır:
- 5. Menzil Formülünün Oluşturulması: $v_x$ ve $t_{uçuş}$ formüllerini menzil formülünde yerine koyarsak:
- $R = (v_0 \cos\theta) \cdot \left( \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} \right)$
- $R = \frac{v_0^2 (2 \sin\theta \cos\theta)}{g}$
- Trigonometrik bir özdeşlik olan $2 \sin\theta \cos\theta = \sin(2\theta)$ kullanarak menzil formülünü daha basit bir hale getirebiliriz:
- $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$
- 6. Açıların İncelenmesi: Sorumuzda verilen açılar $30^\circ$ ve $60^\circ$'dir. Bu açılar birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan (tümler) açılardır ($30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$). Şimdi her iki açı için menzili hesaplayalım:
- $30^\circ$ için menzil ($R_{30}$):
- $R_{30} = \frac{v_0^2 \sin(2 \cdot 30^\circ)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(60^\circ)}{g}$
- $60^\circ$ için menzil ($R_{60}$):
- $R_{60} = \frac{v_0^2 \sin(2 \cdot 60^\circ)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(120^\circ)}{g}$
- 7. Sonuçların Karşılaştırılması: Trigonometride $\sin(x) = \sin(180^\circ - x)$ özdeşliği bulunur. Bu durumda:
- $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$
Yani, $\sin(60^\circ)$ ve $\sin(120^\circ)$ değerleri birbirine eşittir. Bu da demektir ki:
- $R_{30} = \frac{v_0^2 \sin(60^\circ)}{g}$
- $R_{60} = \frac{v_0^2 \sin(60^\circ)}{g}$
Dolayısıyla, $R_{30} = R_{60}$ olur.
Bu analiz, aynı ilk hızla ve aynı yükseklikten atılan, birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan (tümler) açılara sahip cisimlerin (hava direnci ihmal edildiğinde ve atıldığı seviyeye geri döndüğünde) menzillerinin eşit olduğunu gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
