Eğik atış menzil formülü Test 2

Bir cisim, yatayla \( \theta \) açısı yaparak \( v_0 \) ilk hızıyla atılıyor. Cismin menzilini iki katına çıkarmak için ilk hızı kaç \( v_0 \) yapmak gerekir?

A) √2
B) 2
C) 4
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir cismin yatay atış hareketindeki menzilini iki katına çıkarmak için ilk hızını nasıl değiştirmemiz gerektiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Menzil Formülünü Hatırlayalım:

  Bir cisim, yatayla $ \theta $ açısı yaparak $ v_0 $ ilk hızıyla atıldığında, yatayda aldığı yol olan menzil ($ R $) şu formülle hesaplanır:

  $ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} $

  Burada $ g $ yerçekimi ivmesidir. Bu formülden de anlaşılacağı üzere, menzil ($ R $) ilk hızın karesi ($ v_0^2 $) ile doğru orantılıdır.

• 2. İlk Durumu Tanımlayalım:

  Başlangıçta cismin ilk hızı $ v_0 $ ve menzili $ R_1 $ olsun. Bu durumda menzil formülümüz:

  $ R_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} $

• 3. İstenen Durumu Tanımlayalım:

  Cismin menzilini iki katına çıkarmak istiyoruz. Yani yeni menzilimiz $ R_2 = 2R_1 $ olmalı. Yeni ilk hızımız $ v_x $ olsun. Atış açısı $ \theta $ ve yerçekimi ivmesi $ g $ değişmediği için, yeni menzil formülümüz:

  $ R_2 = \frac{v_x^2 \sin(2\theta)}{g} $

• 4. Denklemleri Birleştirelim ve Çözelim:

  Şimdi $ R_2 = 2R_1 $ eşitliğini kullanarak iki formülü bir araya getirelim:

  $ \frac{v_x^2 \sin(2\theta)}{g} = 2 \left( \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \right) $

  Denklemin her iki tarafında da aynı olan $ \sin(2\theta) $ ve $ g $ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $ v_x^2 = 2 v_0^2 $

  Şimdi $ v_x $ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $ \sqrt{v_x^2} = \sqrt{2 v_0^2} $

  $ v_x = \sqrt{2} v_0 $

• 5. Sonucu Değerlendirelim:

  Bu sonuç bize, cismin menzilini iki katına çıkarmak için ilk hızını $ \sqrt{2} $ katına çıkarmamız gerektiğini gösterir.

Cevap A seçeneğidir.