Aşağıdaki soruyu adım adım, açıklayıcı ve anlaşılır şekilde çözelim.
-
Öncelikle, $\arcsin(x)$ fonksiyonunun ne anlama geldiğini hatırlayalım: $\arcsin(x)$ (veya $\sin^{-1}(x)$), sinüsü $x$ olan açıyı ifade eder. Yani, eğer $\sin(\theta) = x$ ise, $\theta = \arcsin(x)$'tir. Bu açının aralığı $[-\pi/2, \pi/2]$'dir.
-
Benzer şekilde, $\arccos(x)$ fonksiyonu (veya $\cos^{-1}(x)$), kosinüsü $x$ olan açıyı ifade eder. Yani, eğer $\cos(\phi) = x$ ise, $\phi = \arccos(x)$'tir. Bu açının aralığı $[0, \pi]$'dir.
-
Şimdi, $\arcsin(x)$ ifadesine bir isim verelim. Diyelim ki $\theta = \arcsin(x)$.
-
Bu tanıma göre, $\sin(\theta) = x$ olur.
-
Trigonometride çok önemli bir özdeşlik vardır: Bir açının sinüsü, o açının tümleri olan açının kosinüsüne eşittir. Yani, $\sin(\theta) = \cos(\pi/2 - \theta)$'dır. Bu özdeşlik, $\theta$ açısı $[-\pi/2, \pi/2]$ aralığında olduğunda da geçerlidir.
-
Bu özdeşliği kullanarak, $\sin(\theta) = x$ eşitliğini $\cos(\pi/2 - \theta) = x$ şeklinde yazabiliriz.
-
Eğer $\cos(\pi/2 - \theta) = x$ ise, kosinüsü $x$ olan açı $\pi/2 - \theta$ demektir. Bu da bize $\arccos(x) = \pi/2 - \theta$ eşitliğini verir.
-
Şimdi, başlangıçta $\theta = \arcsin(x)$ olarak tanımladığımızı hatırlayalım ve bu değeri son bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım:
$\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)$
-
Bu eşitliği yeniden düzenlersek, $\arcsin(x)$'i sol tarafa atarız:
$\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$
-
Bu özdeşlik, $x$ değerinin $[-1, 1]$ aralığında olduğu sürece geçerlidir, çünkü hem $\arcsin(x)$ hem de $\arccos(x)$ bu aralıkta tanımlıdır.
Gördüğünüz gibi, $\arcsin(x) + \arccos(x)$ ifadesinin eşiti her zaman $\pi/2$ (yani $90^\circ$) olmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
