arcsin(sin(2π/3)) ifadesinin değeri kaçtır?
A) π/3Bugün sizlerle ters trigonometrik fonksiyonlardan biri olan arcsin fonksiyonu ile ilgili bir soruyu adım adım çözeceğiz. Sorumuz: $arcsin(sin(2\pi/3))$ ifadesinin değeri kaçtır?
Ters sinüs fonksiyonu olan $arcsin(x)$ (veya $\sin^{-1}(x)$), $x$ değerinin sinüsü olduğu açıyı verir. Ancak bu açının belirli bir aralıkta olması gerekir. $arcsin$ fonksiyonunun ana değer aralığı $[-\pi/2, \pi/2]$'dir (yani derece cinsinden $[-90^\circ, 90^\circ]$). Bu, $arcsin$ fonksiyonundan çıkan sonucun her zaman bu aralıkta bir açı olması gerektiği anlamına gelir. Bu kural, bu tür soruları çözerken anahtar noktamızdır.
Öncelikle parantez içindeki $sin(2\pi/3)$ ifadesinin değerini bulmamız gerekiyor. $2\pi/3$ radyanlık açı, derece cinsinden $2 \times 180^\circ / 3 = 120^\circ$'ye eşittir.
$120^\circ$ açısı birim çemberin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede sinüs değeri pozitiftir. $sin(120^\circ)$ değerini bulmak için referans açıyı kullanabiliriz:
$sin(120^\circ) = sin(180^\circ - 60^\circ) = sin(60^\circ)$
Ve $sin(60^\circ)$'nin değeri $\sqrt{3}/2$'dir.
Dolayısıyla, $sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$.
Şimdi ifademiz $arcsin(\sqrt{3}/2)$ haline geldi. Bu, "hangi açının sinüsü $\sqrt{3}/2$'dir?" sorusunun cevabını aradığımız anlamına gelir. Ancak unutmayalım ki bu açı, $arcsin$ fonksiyonunun ana değer aralığı olan $[-\pi/2, \pi/2]$ içinde olmalıdır.
Biliyoruz ki $sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ (yani $sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$).
Ayrıca, $\pi/3$ açısı ($60^\circ$), $arcsin$ fonksiyonunun ana değer aralığı olan $[-\pi/2, \pi/2]$ ($[-90^\circ, 90^\circ]$) içindedir. Bu nedenle, $\pi/3$ aradığımız değerdir.
Eğer $2\pi/3$ açısını doğrudan cevap olarak alsaydık, bu yanlış olurdu çünkü $2\pi/3$ ($120^\circ$) açısı $arcsin$ fonksiyonunun değer aralığı dışında kalır. $arcsin(\sin(x)) = x$ eşitliği sadece $x \in [-\pi/2, \pi/2]$ olduğunda geçerlidir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $arcsin(sin(2\pi/3)) = arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi/3$ sonucuna ulaşırız.
Cevap A seçeneğidir.
