AYT Matematik konuları Test 2

log₂(x-1) + log₂(x+1) = 3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün sizlerle logaritma denklemlerini nasıl çözeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Karşımızdaki denklem: $log_2(x-1) + log_2(x+1) = 3$. Bu tür denklemleri çözerken dikkat etmemiz gereken bazı önemli noktalar var. Haydi başlayalım!

• 1. Adım: Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim.

  Logaritmalı ifadelerde, logaritmanın içindeki sayı (argüman) her zaman pozitif olmalıdır. Bu yüzden, denklemi çözmeye başlamadan önce $x$ için hangi değerlerin geçerli olabileceğini bulmalıyız:

  • $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
  • $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$

  Her iki koşulun da sağlanması için $x$ değerinin $1$'den büyük olması gerekir. Yani, bulacağımız $x$ değeri mutlaka $x > 1$ koşulunu sağlamalıdır.

• 2. Adım: Logaritma Özelliklerini Kullanalım.

  Denklemde aynı tabana sahip iki logaritmanın toplamı var. Logaritma özelliklerinden biri der ki: $log_b(M) + log_b(N) = log_b(M \cdot N)$. Bu özelliği kullanarak denklemimizi daha basit bir hale getirebiliriz:

  • $log_2((x-1)(x+1)) = 3$
• 3. Adım: Denklemi Üstel Biçime Dönüştürelim.

  Logaritma tanımına göre, $log_b(A) = C$ ise $b^C = A$'dır. Bu kuralı denklemimize uygulayalım:

  • $(x-1)(x+1) = 2^3$
• 4. Adım: Denklemi Çözelim.

  Şimdi denklemi cebirsel olarak çözebiliriz. Sol taraftaki ifade, iki kare farkı özdeşliğidir: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Sağ taraftaki $2^3$ ise $8$'e eşittir.

  • $x^2 - 1^2 = 8$
  • $x^2 - 1 = 8$
  • $x^2 = 8 + 1$
  • $x^2 = 9$

  Bu noktada $x$'in iki olası değeri vardır:

  • $x = \sqrt{9} \Rightarrow x = 3$
  • $x = -\sqrt{9} \Rightarrow x = -3$
• 5. Adım: Tanım Kümesi Kontrolünü Yapalım.

  İlk adımda belirlediğimiz tanım kümesi koşulunu ($x > 1$) hatırlayalım ve bulduğumuz $x$ değerlerini kontrol edelim:

  • Eğer $x = 3$ ise, $3 > 1$ koşulu sağlanır. Bu değer geçerlidir.
  • Eğer $x = -3$ ise, $-3 > 1$ koşulu sağlanmaz. Bu değer geçerli değildir, çünkü logaritmanın içini negatif yapardı. Örneğin, $x-1 = -3-1 = -4$ olurdu ki bu logaritmanın tanımına aykırıdır.
• Sonuç:

  Denklemi sağlayan tek geçerli $x$ değeri $3$'tür.

Cevap B seçeneğidir.