Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir bakteri popülasyonunun büyümesini modelleyen bir fonksiyon verilmiş ve bizden belirli bir andaki anlık büyüme hızını bulmamız isteniyor. Anlık büyüme hızı, bir fonksiyonun türevi yardımıyla bulunur. Hadi adım adım çözelim:
- Adım 1: Anlık Büyüme Hızının Anlamı
- Bir fonksiyonun anlık değişim hızı veya anlık büyüme hızı, o fonksiyonun zamana göre türevi alınarak bulunur. Yani, $P(t)$ fonksiyonunun anlık büyüme hızını bulmak için $P'(t)$ türevini hesaplamamız gerekiyor.
- Adım 2: Fonksiyonun Türevini Alma
- Verilen fonksiyon $P(t) = 100 \cdot \ln(2t+1)$ şeklindedir. Bu fonksiyonun türevini alırken zincir kuralını ve $\ln(u)$'nun türevi kuralını kullanacağız.
- Genel olarak, $\frac{d}{dx} (\ln(u)) = \frac{u'}{u}$'dur. Burada $u = 2t+1$ ve $u' = \frac{d}{dt}(2t+1) = 2$'dir.
- Şimdi $P(t)$'nin türevini alalım:
- $P'(t) = \frac{d}{dt} (100 \cdot \ln(2t+1))$
- $P'(t) = 100 \cdot \frac{1}{2t+1} \cdot \frac{d}{dt}(2t+1)$
- $P'(t) = 100 \cdot \frac{1}{2t+1} \cdot 2$
- $P'(t) = \frac{200}{2t+1}$
- Bu ifade, bakteri popülasyonunun herhangi bir $t$ anındaki anlık büyüme hızını gösterir.
- Adım 3: 4. Saatteki Anlık Büyüme Hızını Hesaplama
- Bizden populasyonun 4. saatteki anlık büyüme hızı istendiği için, bulduğumuz $P'(t)$ ifadesinde $t=4$ değerini yerine koymalıyız.
- $P'(4) = \frac{200}{2(4)+1}$
- $P'(4) = \frac{200}{8+1}$
- $P'(4) = \frac{200}{9}$
- Yani, 4. saatteki anlık büyüme hızı $\frac{200}{9}$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
