Bir öğrenci birim çemberde 135°'lik açıyı inceliyor. Bu açının sinüs ve kosinüs değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) sin135° > 0, cos135° > 0
B) sin135° > 0, cos135° < 0
C) sin135° < 0, cos135° > 0
D) sin135° < 0, cos135° < 0
Merhaba sevgili öğrenciler!
Birim çemberde açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretlerini bulmak, trigonometrinin temel konularından biridir. Gelin, $135^\circ$'lik açının sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretlerini adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Birim Çemberi ve Koordinat Sistemini Hatırlayalım
Birim çember, merkezi başlangıç noktası $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Bir açının bitiş kolunun birim çemberi kestiği noktanın koordinatları $(x,y)$ ise, bu noktadaki $x$ değeri açının kosinüsünü, $y$ değeri ise açının sinüsünü verir. Yani, $\cos\theta = x$ ve $\sin\theta = y$ diyebiliriz.
- Adım 2: $135^\circ$'lik Açının Hangi Bölgede (Kadranda) Olduğunu Belirleyelim
Koordinat sistemi dört bölgeye (kadrana) ayrılmıştır:
- I. Bölge: $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasındaki açılar. Bu bölgede $x$ ve $y$ koordinatları pozitiftir.
- II. Bölge: $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasındaki açılar. Bu bölgede $x$ koordinatları negatif, $y$ koordinatları pozitiftir.
- III. Bölge: $180^\circ$ ile $270^\circ$ arasındaki açılar. Bu bölgede $x$ ve $y$ koordinatları negatiftir.
- IV. Bölge: $270^\circ$ ile $360^\circ$ arasındaki açılar. Bu bölgede $x$ koordinatları pozitif, $y$ koordinatları negatiftir.
$135^\circ$ açısı, $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasında yer aldığı için II. Bölge'de bulunur.
- Adım 3: II. Bölgedeki İşaretleri Uygulayalım
II. Bölge'de bir noktanın $x$ koordinatı negatiftir ($x < 0$), $y$ koordinatı ise pozitiftir ($y > 0$).
- $\cos(135^\circ) = x$ olduğundan, $\cos(135^\circ)$ değeri negatif olacaktır ($\cos(135^\circ) < 0$).
- $\sin(135^\circ) = y$ olduğundan, $\sin(135^\circ)$ değeri pozitif olacaktır ($\sin(135^\circ) > 0$).
- Adım 4: Seçenekleri Kontrol Edelim
Bulduğumuz sonuçlar: $\sin(135^\circ) > 0$ ve $\cos(135^\circ) < 0$. Şimdi bu sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $\sin(135^\circ) > 0$, $\cos(135^\circ) > 0$ (Yanlış)
- B) $\sin(135^\circ) > 0$, $\cos(135^\circ) < 0$ (Doğru)
- C) $\sin(135^\circ) < 0$, $\cos(135^\circ) > 0$ (Yanlış)
- D) $\sin(135^\circ) < 0$, $\cos(135^\circ) < 0$ (Yanlış)
Bu adımları takip ederek doğru cevabın B seçeneği olduğunu kolayca görebiliriz.
Cevap B seçeneğidir.
