Sinüs teoremi formülü Test 2

Bir ABC üçgeninde A açısı 30°, B açısı 45° ve a kenarı 10 cm'dir. b kenarının uzunluğu kaç cm'dir? (sin30° = 1/2, sin45° = √2/2)

A) 5√2
B) 10√2
C) 15
D) 20

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları ve karşılarındaki açıların sinüsleri arasında belirli bir ilişki vardır. Bu ilişkiye Sinüs Teoremi denir.

• Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir. Bu oran $rac{a}{\sin A} = rac{b}{\sin B} = rac{c}{\sin C}$ şeklinde ifade edilir.
• Verilen Bilgileri Not Edelim:

  Soruda bize A açısı ($A$) $30^\circ$, B açısı ($B$) $45^\circ$ ve a kenarı ($a$) $10$ cm olarak verilmiştir. Bizden b kenarının uzunluğu ($b$) istenmektedir. Ayrıca, $\sin 30^\circ = rac{1}{2}$ ve $\sin 45^\circ = rac{\sqrt{2}}{2}$ değerleri de kullanmamız için verilmiştir.

• Sinüs Teoremi'ni Uygulayalım:

  Verilen kenar ve açılar $a$, $A$, $b$ ve $B$ olduğundan, Sinüs Teoremi'nin $rac{a}{\sin A} = rac{b}{\sin B}$ kısmını kullanacağız.

• Değerleri Yerine Koyalım:

  Formülde verilen $a=10$, $A=30^\circ$ ve $B=45^\circ$ değerlerini yerine yazalım:

  $rac{10}{\sin 30^\circ} = rac{b}{\sin 45^\circ}$

• Sinüs Değerlerini Kullanarak Hesaplayalım:

  Şimdi $\sin 30^\circ = rac{1}{2}$ ve $\sin 45^\circ = rac{\sqrt{2}}{2}$ değerlerini denklemde yerine yazalım:

  $rac{10}{rac{1}{2}} = rac{b}{rac{\sqrt{2}}{2}}$

• Denklemi Çözerek $b$ Kenarını Bulalım:

  Denklemi adım adım basitleştirelim:

  $10 \times 2 = b \times rac{2}{\sqrt{2}}$

  $20 = rac{2b}{\sqrt{2}}$

  Şimdi $b$ kenarını yalnız bırakmak için her iki tarafı $\sqrt{2}$ ile çarpalım:

  $20\sqrt{2} = 2b$

  Son olarak, her iki tarafı $2$ ile bölelim:

  $b = rac{20\sqrt{2}}{2}$

  $b = 10\sqrt{2}$ cm

Bu durumda, $b$ kenarının uzunluğu $10\sqrt{2}$ cm olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.