Bir marangoz 72 cm ve 96 cm uzunluğundaki iki tahta parçasını hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta en büyük parçalara ayırmak istiyor. Marangozun elde edeceği her bir parçanın uzunluğu kaç cm olmalıdır?
A) 12Bu problemde, iki farklı uzunluktaki tahta parçasını hiç artmayacak şekilde ve eşit uzunlukta en büyük parçalara ayırmak istiyoruz. Bu tür problemlerde, verilen sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'ni bulmamız gerektiğini bilmeliyiz. Çünkü EBOB, hem 72'yi hem de 96'yı bölen en büyük sayıdır ve bu da bize elde edeceğimiz en uzun eşit parçanın uzunluğunu verir.
Marangozun elinde 72 cm ve 96 cm uzunluğunda iki tahta parçası var. Bu tahtaları eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde, üstelik en büyük parçalara ayırmak istiyor. Bu ifadeler bize, 72 ve 96 sayılarının En Büyük Ortak Böleni'ni (EBOB) bulmamız gerektiğini anlatır.
EBOB'u bulmak için sayılarımızın asal çarpanlarını bulalım:
72 sayısının asal çarpanları:
$72 = 2 \times 36$
$72 = 2 \times 2 \times 18$
$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 9$
$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
Yani, $72 = 2^3 \times 3^2$
96 sayısının asal çarpanları:
$96 = 2 \times 48$
$96 = 2 \times 2 \times 24$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 12$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
Yani, $96 = 2^5 \times 3^1$
EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında ortak olanları, üssü en küçük olanlarını alıp çarparız.
Ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür.
$2$'nin en küçük üssü $2^3$ (çünkü 72'de $2^3$, 96'da $2^5$ var).
$3$'ün en küçük üssü $3^1$ (çünkü 72'de $3^2$, 96'da $3^1$ var).
Şimdi bu ortak çarpanları çarpalım:
EBOB$(72, 96) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$
Bulduğumuz EBOB değeri olan 24, marangozun elde edeceği her bir parçanın uzunluğunu santimetre cinsinden ifade eder. Yani, her bir parça 24 cm uzunluğunda olmalıdır.
Bu durumda, 72 cm'lik tahta $72 \div 24 = 3$ parçaya, 96 cm'lik tahta ise $96 \div 24 = 4$ parçaya ayrılabilir ve hiç artan tahta olmaz.
Cevap C seçeneğidir.
