6. sınıf matematik ortak bölenler ve ortak katlar etkinlik / çalışma kağıdı Test 1

Bir çiftçi, kenar uzunlukları 120 metre ve 150 metre olan dikdörtgen şeklindeki tarlasının etrafına köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikecektir. Ağaçlar arasındaki mesafe en fazla kaç metre olabilir?

A) 10
B) 15
C) 20
D) 30

Merhaba sevgili öğrencilerim!

Bu problemde, bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikme senaryosu üzerinden önemli bir matematiksel kavramı, yani En Büyük Ortak Bölen'i (EBOB) öğreneceğiz. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Ne Aradığımızı Belirleyelim

  Bir çiftçinin dikdörtgen şeklinde bir tarlası var. Bu tarlanın kenar uzunlukları $120$ metre ve $150$ metre. Çiftçi, tarlanın etrafına, köşelerine de gelecek şekilde, eşit aralıklarla ağaç dikecek. Bizden istenen, ağaçlar arasındaki mesafenin en fazla kaç metre olabileceğidir.

  Ağaçlar eşit aralıklarla dikileceği ve köşelere de geleceği için, bu mesafe hem $120$ metrelik kenarı hem de $150$ metrelik kenarı tam bölmelidir. Yani, bu mesafe $120$ ve $150$ sayılarının ortak bir böleni olmalıdır. "En fazla" kelimesi ise bize bu ortak bölenlerin en büyüğünü, yani En Büyük Ortak Bölen'i (EBOB) bulmamız gerektiğini gösterir.

• Adım 2: Sayıların Asal Çarpanlarını Bulalım

  EBOB'u bulmanın en etkili yollarından biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Şimdi $120$ ve $150$ sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

  • $120$ sayısının asal çarpanları:

  $120 \div 2 = 60$

  $60 \div 2 = 30$

  $30 \div 2 = 15$

  $15 \div 3 = 5$

  $5 \div 5 = 1$

  Yani, $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$

  • $150$ sayısının asal çarpanları:

  $150 \div 2 = 75$

  $75 \div 3 = 25$

  $25 \div 5 = 5$

  $5 \div 5 = 1$

  Yani, $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$

• Adım 3: En Büyük Ortak Bölen'i (EBOB) Hesaplayalım

  EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpan listesindeki ortak olan asal çarpanları, en küçük üsleriyle çarparız:

  • Ortak asal çarpanlar: $2$, $3$ ve $5$.
  • $2$ için en küçük üs: $2^1$ (çünkü $120$'de $2^3$ ve $150$'de $2^1$ var)
  • $3$ için en küçük üs: $3^1$ (çünkü $120$'de $3^1$ ve $150$'de $3^1$ var)
  • $5$ için en küçük üs: $5^1$ (çünkü $120$'de $5^1$ ve $150$'de $5^2$ var)

  Şimdi bu ortak asal çarpanları en küçük üsleriyle çarpalım:

  EBOB$(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$

• Adım 4: Sonucu Yorumlayalım

  Bulduğumuz EBOB değeri olan $30$, ağaçlar arasındaki mesafenin en fazla kaç metre olabileceğini gösterir. Yani, çiftçi ağaçları $30$ metrelik aralıklarla dikerse, hem $120$ metrelik kenara ($120 \div 30 = 4$ aralık) hem de $150$ metrelik kenara ($150 \div 30 = 5$ aralık) tam olarak sığdırabilir ve köşelere de ağaç dikebilir.

Bu durumda, ağaçlar arasındaki mesafe en fazla $30$ metre olabilir.

Cevap D seçeneğidir.