11. sınıf trigonometri konu anlatımı Test 1

🎓 11. sınıf trigonometri konu anlatımı Test 1 - Ders Notu

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu ders notu, 11. sınıf trigonometri Test 1'de karşılaşabileceğiniz temel konuları sade ve anlaşılır bir dille özetlemek için hazırlandı. Yönlü açılar, açı ölçü birimleri, esas ölçü, birim çember ve temel trigonometrik fonksiyonlar gibi konuları birlikte gözden geçireceğiz.

📌 Yönlü Açılar

Trigonometrinin temelini oluşturan yönlü açılar, bir başlangıç kenarı ve bir bitim kenarı olan açılardır. Açının yönü, trigonometrik hesaplamalarda büyük önem taşır.

• Pozitif Yön: Saatin dönme yönünün tersidir. Genellikle matematiksel çalışmalarda bu yön esas alınır.
• Negatif Yön: Saatin dönme yönü ile aynıdır.
• Açının başlangıç kenarı genellikle koordinat sistemindeki pozitif x-ekseni olarak kabul edilir.

💡 İpucu: Bir açının yönü, bitim kenarının başlangıç kenarına göre hangi yönde hareket ettiğini gösterir. Örneğin, $30^\circ$ ile $-330^\circ$ aynı bitim kenarına sahiptir çünkü esas ölçüleri aynıdır.

📌 Açı Ölçü Birimleri

Açıları ifade etmek için farklı ölçü birimleri kullanılır. En yaygın olanları derece ve radyandır.

• Derece ($^\circ$): Bir tam çember $360^\circ$'dir. Her bir derece, $60$ dakikaya ('), her dakika $60$ saniyeye (") bölünür.
• Radyan (rad): Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüdür. Bir tam çember $2\pi$ radyandır.
• Derece-Radyan Dönüşümü: Dereceyi radyana veya radyanı dereceye çevirmek için $\frac{\text{Derece}}{180} = \frac{\text{Radyan}}{\pi}$ formülü kullanılır.

📝 Örnek: $120^\circ$ kaç radyandır? $\frac{120}{180} = \frac{\text{Radyan}}{\pi} \implies \frac{2}{3} = \frac{\text{Radyan}}{\pi} \implies \text{Radyan} = \frac{2\pi}{3}$.

⚠️ Dikkat: Genellikle radyan cinsinden verilen açılarda "rad" eki yazılmaz. Örneğin, $\frac{\pi}{4}$ ifadesi $\frac{\pi}{4}$ radyan anlamına gelir.

📌 Esas Ölçü

Bir açının esas ölçüsü, $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$ (veya $0 \le \alpha < 2\pi$) aralığında olan ölçüsüdür. Yani, bir açının birim çemberdeki yerini gösteren en küçük pozitif açıdır.

• Derece Cinsinden Esas Ölçü: Verilen açıyı $360^\circ$'ye bölerek kalanı buluruz. Kalan, esas ölçüdür. Eğer açı negatifse, kalana $360^\circ$ eklenir.
• Radyan Cinsinden Esas Ölçü: Verilen açının payını, paydanın 2 katına bölerek kalanı buluruz. Kalanı paya yazıp paydayı sabit tutarız. Eğer açı negatifse, kalana $2\pi$ eklenir.

📝 Örnek: $1000^\circ$'nin esas ölçüsü: $1000 = 2 \times 360 + 280$. Kalan $280^\circ$'dir. Esas ölçü $280^\circ$.

📝 Örnek: $-\frac{7\pi}{3}$'ün esas ölçüsü: Önce pozitif düşünelim: $\frac{7\pi}{3}$. Pay (7), paydanın 2 katı olan 6'ya bölünür: $7 = 1 \times 6 + 1$. Kalan $\frac{\pi}{3}$. Açı negatif olduğu için $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$. Esas ölçü $\frac{5\pi}{3}$.

💡 İpucu: Esas ölçü her zaman pozitif ve bir tam turdan küçüktür. Bir açının esas ölçüsü, birim çember üzerinde aynı noktayı gösteren sonsuz sayıdaki açıdan sadece biridir.

📌 Birim Çember

Birim çember, merkezi başlangıç noktasında $(0,0)$ olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Trigonometrik fonksiyonları tanımlamak ve görselleştirmek için temel bir araçtır.

• Birim çember üzerindeki her noktanın $P(x,y)$ koordinatları için $x^2 + y^2 = 1$ eşitliği sağlanır. Bu, aslında Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
• Pozitif x-ekseni ile birim çember üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçasının yaptığı açı $\alpha$ ise, bu noktanın koordinatları $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ olarak ifade edilir.

⚠️ Dikkat: Birim çember üzerindeki bir noktanın x-koordinatı kosinüs değerini, y-koordinatı ise sinüs değerini verir. Bu, trigonometrinin en temel bağlantılarından biridir ve tüm fonksiyonların tanımının temelidir.

📌 Temel Trigonometrik Fonksiyonlar

Birim çember üzerindeki bir $P(x,y)$ noktası ve bu noktanın pozitif x-ekseniyle yaptığı $\alpha$ açısı için trigonometrik fonksiyonlar şöyle tanımlanır:

• Sinüs ($\sin \alpha$): Birim çember üzerindeki noktanın y-koordinatıdır. $\sin \alpha = y$.
• Kosinüs ($\cos \alpha$): Birim çember üzerindeki noktanın x-koordinatıdır. $\cos \alpha = x$.
• Tanjant ($\tan \alpha$): Sinüsün kosinüse oranıdır. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. (x-koordinatı $0$ olmamalı, yani $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)
• Kotanjant ($\cot \alpha$): Kosinüsün sinüse oranıdır. $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. (y-koordinatı $0$ olmamalı, yani $\alpha \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$)

💡 İpucu: Bu dört temel fonksiyonun birbirleriyle ilişkisi ve birim çember üzerindeki değerleri çok iyi anlaşılmalıdır. Özellikle $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ özdeşliği, Pisagor Teoremi'nin bir yansımasıdır.

📌 Bölgelerde Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri

Birim çemberi dört bölgeye ayırarak trigonometrik fonksiyonların işaretlerini kolayca belirleyebiliriz. Bu, hangi açının hangi bölgede olduğuna göre fonksiyon değerinin pozitif mi negatif mi olduğunu gösterir.

• I. Bölge ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$ veya $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): Tüm fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) pozitiftir. (x ve y pozitif)
• II. Bölge ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$ veya $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): Sinüs pozitif, Kosinüs, Tanjant, Kotanjant negatiftir. (x negatif, y pozitif)
• III. Bölge ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$ veya $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): Tanjant ve Kotanjant pozitif, Sinüs ve Kosinüs negatiftir. (x ve y negatif)
• IV. Bölge ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$ veya $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): Kosinüs pozitif, Sinüs, Tanjant, Kotanjant negatiftir. (x pozitif, y negatif)

⚠️ Dikkat: Her bölgede hangi fonksiyonların pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bilmek, soru çözerken çok zaman kazandırır ve hata yapmanı engeller. "Bütün Sınıf Kara Tahtada Coşar" gibi akılda kalıcı tekerlemelerle bu sıralamayı hatırlayabilirsin.

📌 Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Bu özdeşlikler, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek, denklemleri çözmek ve farklı fonksiyonlar arasında geçiş yapmak için anahtardır.

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ (Trigonometrinin en temel ve en çok kullanılan özdeşliğidir!)
• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
• $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
• $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
• $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ (Burada sekant, kosinüsün çarpmaya göre tersidir: $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$)
• $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ (Burada kosekant, sinüsün çarpmaya göre tersidir: $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$)

💡 İpucu: Bu özdeşlikleri ezberlemek yerine, nasıl çıktıklarını (özellikle $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ ve tan/cot tanımlarından) anlamaya çalışırsan, unutman çok daha zor olur. Bol bol pratik yaparak bu özdeşlikleri içselleştirebilirsin!