11. sınıf trigonometri konu anlatımı Test 1

Bir dik üçgende dar açılardan birinin tanjantı 4/3 olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüsü 15 cm ise diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

A) 6
B) 8
C) 9
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için dik üçgenlerde trigonometrik oranları ve Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Tanjant Tanımını Anlayalım

  Bir dik üçgende, bir dar açının tanjantı, o açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun, o açıya komşu olan dik kenarın uzunluğuna oranıdır. Matematiksel olarak bunu şöyle ifade ederiz:

  $\tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}}$

  Soruda bu oran $4/3$ olarak verilmiş. Bu durumda, karşı dik kenarın uzunluğunu $4k$ ve komşu dik kenarın uzunluğunu $3k$ şeklinde ifade edebiliriz (burada $k$ bir orantı sabitidir).

• Adım 2: Hipotenüsü k Cinsinden Bulalım

  Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasında Pisagor Teoremi bağıntısı vardır. Bu teorem der ki: "Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir."

  $(\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2$

  Bizim durumumuzda, dik kenarlarımız $4k$ ve $3k$ olduğuna göre:

  $(4k)^2 + (3k)^2 = (\text{hipotenüs})^2$

  $16k^2 + 9k^2 = (\text{hipotenüs})^2$

  $25k^2 = (\text{hipotenüs})^2$

  Her iki tarafın karekökünü alırsak, hipotenüsün uzunluğu $5k$ olarak bulunur.

• Adım 3: Orantı Sabiti k'yi Hesaplayalım

  Soruda hipotenüsün uzunluğu $15$ cm olarak verilmişti. Biz hipotenüsü $5k$ olarak bulduk.

  Bu durumda, $5k = 15$ cm eşitliğini kurarız.

  $k$ değerini bulmak için her iki tarafı $5$'e böleriz: $k = \frac{15}{5} = 3$.

• Adım 4: Dik Kenarların Gerçek Uzunluklarını Bulalım

  $k=3$ değerini kullanarak dik kenarların gerçek uzunluklarını hesaplayabiliriz:

  • Karşı dik kenar $= 4k = 4 \times 3 = 12$ cm.
  • Komşu dik kenar $= 3k = 3 \times 3 = 9$ cm.

  Yani, bu dik üçgenin dik kenarları $9$ cm ve $12$ cm'dir.

• Adım 5: İstenen "Diğer Dik Kenar"ı Belirleyelim

  Soruda "diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?" diye soruluyor. Biz iki dik kenarın uzunluğunu da bulduk: $9$ cm ve $12$ cm.

  Eğer tanjantı verilen açının karşısındaki kenarı $12$ cm olarak kabul edersek, "diğer dik kenar" $9$ cm olur.

  Eğer tanjantı verilen açının komşusundaki kenarı $9$ cm olarak kabul edersek, "diğer dik kenar" $12$ cm olur.

  Seçeneklere baktığımızda, $12$ cm cevabı mevcuttur.

Bu durumda, dik kenarlardan biri $9$ cm, diğeri $12$ cm'dir. Seçeneklerde $12$ cm bulunduğu için doğru cevap budur.

Cevap D seçeneğidir.