Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları Test 1

Bir üçgenin ağırlık merkezi G(5,7) noktasıdır. Köşe noktalarından ikisi A(2,3) ve B(8,9) olduğuna göre, üçüncü köşe C'nin koordinatları nedir?

A) (5,9)
B) (7,5)
C) (3,11)
D) (9,3)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları ile iki köşe noktasının koordinatları verilmiş. Bizden üçüncü köşe noktasının koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için ağırlık merkezi formülünü bilmemiz yeterlidir.

• Ağırlık Merkezi (Centroid) Formülü:

  Bir üçgenin köşe noktaları $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ ve $C(x_C, y_C)$ ise, ağırlık merkezi $G(x_G, y_G)$ aşağıdaki formüllerle bulunur:

  • $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
  • $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
• Verilen Bilgileri Belirleyelim:
  • Ağırlık merkezi $G(x_G, y_G) = G(5,7)$
  • Birinci köşe $A(x_A, y_A) = A(2,3)$
  • İkinci köşe $B(x_B, y_B) = B(8,9)$
  • Üçüncü köşe $C(x_C, y_C)$'yi arıyoruz.
• $x$-koordinatını Bulalım:

  Ağırlık merkezinin $x$-koordinatı formülünü kullanarak $x_C$ değerini bulalım:

  • $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
  • $5 = \frac{2 + 8 + x_C}{3}$
  • $5 = \frac{10 + x_C}{3}$
  • Her iki tarafı $3$ ile çarpalım: $5 \times 3 = 10 + x_C$
  • $15 = 10 + x_C$
  • $x_C = 15 - 10$
  • $x_C = 5$
• $y$-koordinatını Bulalım:

  Ağırlık merkezinin $y$-koordinatı formülünü kullanarak $y_C$ değerini bulalım:

  • $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
  • $7 = \frac{3 + 9 + y_C}{3}$
  • $7 = \frac{12 + y_C}{3}$
  • Her iki tarafı $3$ ile çarpalım: $7 \times 3 = 12 + y_C$
  • $21 = 12 + y_C$
  • $y_C = 21 - 12$
  • $y_C = 9$
• Üçüncü Köşe C'nin Koordinatları:

  Bulduğumuz $x_C$ ve $y_C$ değerlerini birleştirerek $C$ noktasının koordinatlarını elde ederiz: $C(5,9)$.

• Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz $C(5,9)$ koordinatları, seçeneklerdeki A) (5,9) ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.