Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları Test 1

Koordinat düzleminde A(1,1), B(7,1) ve C(3,5) noktaları veriliyor. Bu üçgenin ağırlık merkezinin orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) √13
B) 4
C) √17
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, koordinat düzleminde verilen bir üçgenin ağırlık merkezini bulup, bu noktanın orijine olan uzaklığını hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.

• 1. Adım: Üçgenin Ağırlık Merkezini Bulma Formülü

  Bir üçgenin köşeleri $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ ise, bu üçgenin ağırlık merkezi $G(x_G, y_G)$ aşağıdaki formüllerle bulunur:

  • $x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
  • $y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
• 2. Adım: Ağırlık Merkezinin Koordinatlarını Hesaplama

  Verilen noktalar $A(1,1)$, $B(7,1)$ ve $C(3,5)$'tir. Bu değerleri ağırlık merkezi formülünde yerine koyalım:

  • $x_G = \frac{1 + 7 + 3}{3} = \frac{11}{3}$
  • $y_G = \frac{1 + 1 + 5}{3} = \frac{7}{3}$

  Buna göre, üçgenin ağırlık merkezi $G\left(\frac{11}{3}, \frac{7}{3}\right)$ noktasıdır.

• 3. Adım: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü

  Koordinat düzleminde $P(x_1, y_1)$ ve $Q(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

  • $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

  Bizim durumumuzda, ağırlık merkezi $G\left(\frac{11}{3}, \frac{7}{3}\right)$ ve orijin $O(0,0)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulacağız.

• 4. Adım: Ağırlık Merkezinin Orijine Uzaklığını Hesaplama

  Ağırlık merkezi $G\left(\frac{11}{3}, \frac{7}{3}\right)$ ve orijin $O(0,0)$ noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım:

  • $d = \sqrt{\left(\frac{11}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{7}{3} - 0\right)^2}$
  • $d = \sqrt{\left(\frac{11}{3}\right)^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2}$
  • $d = \sqrt{\frac{121}{9} + \frac{49}{9}}$
  • $d = \sqrt{\frac{121 + 49}{9}}$
  • $d = \sqrt{\frac{170}{9}}$
  • $d = \frac{\sqrt{170}}{\sqrt{9}}$
  • $d = \frac{\sqrt{170}}{3}$

Bu durumda, ağırlık merkezinin orijine olan uzaklığı $\frac{\sqrt{170}}{3}$ birimdir.

Cevap C seçeneğidir.