6. sınıf matematik ortak bölenler ve ortak katlar etkinlik / çalışma kağıdı Test 2

İki farklı doğal sayının EBOB'u 15'tir. Bu sayıların toplamı 90 olduğuna göre, bu sayılardan biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 15
B) 30
C) 45
D) 75

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki farklı doğal sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) ve toplamı verilmiş. Bizden bu sayılardan biri olamayacak seçeneği bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim:

• 1. Adım: EBOB bilgisini kullanma.

  İki farklı doğal sayının EBOB'u 15 ise, bu sayılar 15'in katları olmak zorundadır. Ayrıca, bu sayıları oluşturan çarpanların 15 dışındaki kısımları aralarında asal olmalıdır. Bu durumda, sayılarımızı $A$ ve $B$ olarak adlandırırsak:

  • $A = 15k$
  • $B = 15m$

  Burada $k$ ve $m$ birer doğal sayıdır. Ayrıca, $A$ ve $B$ farklı sayılar olduğu için $k \neq m$ olmalıdır. En önemlisi, $k$ ve $m$ sayılarının EBOB'u 1 olmalıdır (yani $k$ ve $m$ aralarında asal olmalıdır), aksi takdirde EBOB 15'ten daha büyük olurdu.

• 2. Adım: Toplam bilgisini kullanma.

  Soruda bu sayıların toplamının 90 olduğu belirtilmiş. O zaman:

  $A + B = 90$

  Yukarıdaki ifadeleri yerine yazarsak:

  $15k + 15m = 90$

• 3. Adım: Denklemi sadeleştirme.

  Denklemin her iki tarafını 15'e bölelim:

  $15(k + m) = 90$

  $k + m = \frac{90}{15}$

  $k + m = 6$

• 4. Adım: $k$ ve $m$ değerlerini bulma.

  $k$ ve $m$ doğal sayılar olmalı, $k \neq m$ olmalı ve $\text{EBOB}(k, m) = 1$ (aralarında asal) olmalı. Toplamları 6 olan $k$ ve $m$ çiftlerini inceleyelim:

  • Eğer $k=1$ ise, $m=5$.
    • $k \neq m$ ($1 \neq 5$) koşulu sağlanır.
    • $\text{EBOB}(1, 5) = 1$ koşulu sağlanır (1 ve 5 aralarında asaldır).
    • Bu çift geçerlidir.
  • Eğer $k=2$ ise, $m=4$.
    • $k \neq m$ ($2 \neq 4$) koşulu sağlanır.
    • Ancak $\text{EBOB}(2, 4) = 2$ olduğu için aralarında asal değillerdir. Bu çift geçerli değildir.
  • Eğer $k=3$ ise, $m=3$.
    • $k \neq m$ ($3 \neq 3$) koşulu sağlanmaz, çünkü sayılar farklı olmalıydı. Bu çift geçerli değildir.

  Diğer durumlar ($k=4, m=2$ veya $k=5, m=1$) sadece sayıların yerini değiştireceği için aynı sayı çiftini verir.

  Dolayısıyla, $k$ ve $m$ için geçerli olan tek çift $(1, 5)$ veya $(5, 1)$'dir.

• 5. Adım: Sayıları belirleme.

  $k=1$ ve $m=5$ değerlerini kullanarak sayıları bulalım:

  • $A = 15k = 15 \times 1 = 15$
  • $B = 15m = 15 \times 5 = 75$

  Bu iki doğal sayı 15 ve 75'tir. Kontrol edelim: EBOB(15, 75) = 15 ve 15 + 75 = 90. Koşullar sağlanıyor.

• 6. Adım: Seçenekleri değerlendirme.

  Soruda "bu sayılardan biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?" diye soruluyor. Bizim bulduğumuz sayılar 15 ve 75'tir.

  • A) 15: Bu sayılardan biri olabilir.
  • B) 30: Bu sayılardan biri değildir (ne 15 ne de 75).
  • C) 45: Bu sayılardan biri değildir (ne 15 ne de 75).
  • D) 75: Bu sayılardan biri olabilir.

  Seçenekler arasında 30 ve 45 sayıları, bulduğumuz 15 ve 75 sayılarından biri değildir. Ancak sorunun cevabı tek bir seçenek olacağı için, verilen seçeneklerden sadece bir tanesi "olamaz" durumunu temsil eder. Bu durumda, 30 sayısı bu iki sayıdan biri olamaz.

Cevap B seçeneğidir.