TYT deneme sınavı çöz Test 1

Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi ve 6 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

A) 37/105
B) 41/105
C) 47/105
D) 53/105
E) 59/105

Merhaba sevgili öğrenciler, bu olasılık sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim.

• Adım 1: Toplam Bilye Sayısını Bulma

  Torbadaki bilyelerin renklerine göre sayıları şöyledir:

  • Kırmızı bilye sayısı: 4
  • Mavi bilye sayısı: 5
  • Beyaz bilye sayısı: 6

  Toplam bilye sayısı: $4 + 5 + 6 = 15$ bilye.

• Adım 2: Torbadan Çekilebilecek Tüm İki Bilye Kombinasyonlarının Sayısını Bulma (Örnek Uzay)

  Torbadan rastgele iki bilye çekiyoruz. Bu iki bilyeyi 15 bilye arasından kaç farklı şekilde seçebileceğimizi kombinasyon formülü ile buluruz. Kombinasyon formülü $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.

  Burada $n=15$ (toplam bilye sayısı) ve $k=2$ (çekilen bilye sayısı).

  Toplam kombinasyon sayısı: $\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$.

  Yani, torbadan çekilebilecek iki bilyenin toplam 105 farklı kombinasyonu vardır.

• Adım 3: İstenmeyen Durumu Bulma (İki Bilyenin Aynı Renkte Olması)

  Bizden farklı renkte olma olasılığı istendiği için, önce iki bilyenin aynı renkte olma durumlarını bulup, toplam durumdan çıkarabiliriz. İki bilyenin aynı renkte olması şu şekillerde olabilir:

  • İkisi de kırmızı olması: 4 kırmızı bilye arasından 2 kırmızı bilye seçme kombinasyonu: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
  • İkisi de mavi olması: 5 mavi bilye arasından 2 mavi bilye seçme kombinasyonu: $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
  • İkisi de beyaz olması: 6 beyaz bilye arasından 2 beyaz bilye seçme kombinasyonu: $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

  İki bilyenin aynı renkte olma durumlarının toplamı: $6 + 10 + 15 = 31$.

• Adım 4: İstenen Durumu Bulma (İki Bilyenin Farklı Renkte Olması)

  İki bilyenin farklı renkte olma durumu, tüm olası çekimlerden aynı renkte olma durumlarının çıkarılmasıyla bulunur:

  Farklı renkte olma durumu sayısı = (Tüm olası çekimler) - (Aynı renkte olma durumları)

  Farklı renkte olma durumu sayısı = $105 - 31 = 74$.

  Alternatif olarak, farklı renk kombinasyonlarını doğrudan hesaplayabiliriz:

  • Kırmızı ve Mavi: $4 \times 5 = 20$
  • Kırmızı ve Beyaz: $4 \times 6 = 24$
  • Mavi ve Beyaz: $5 \times 6 = 30$

  Toplam farklı renk kombinasyonu: $20 + 24 + 30 = 74$. Her iki yöntem de aynı sonucu vermektedir.

• Adım 5: Olasılığı Hesaplama

  Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına bölünmesiyle bulunur:

  Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}$

  Farklı renkte olma olasılığı = $\frac{74}{105}$.

Cevap E seçeneğidir.